Bài 60 trang 92 sgk toán 8 tập 2

Đề bài

Cho tam giác vuông \(ABC\), \(\widehat A =90^0, \widehat C=30^0\) và đường phân giác \(BD\) (\(D\) thuộc cạnh \(AC\)). 

a) Tính tỉ số \(\dfrac{{A{\rm{D}}}}{{C{\rm{D}}}}\) .

b) Cho biết độ dài \(AB = 12,5 cm\). Hãy tính chu vi và diện tích của tam giác \(ABC\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng: Tính chất đường phân giác của tam giác, định lí Pitago, công thức tính chu vi và diện tích của tam giác.

Lời giải chi tiết

a) Xét tam giác \(BCA\) vuông tại \(A\) (gt) có: 

\(\begin{array}{l}
\widehat {ACB} + \widehat {ABC} = {90^0}\\
\Rightarrow \widehat {ABC} = {90^0} - \widehat {ACB} \\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= {90^0} - {30^0} = {60^0}
\end{array}\)

Trên tia đối của tia \(AB\) lấy điểm \(B'\) sao cho \(AB = AB'\) (1)

Xét hai tam giác vuông \(ABC\) và \(AB'C\) có:

\(AC\) chung (gt)

\(AB = AB'\) (gt)

\( \Rightarrow \Delta ABC = \Delta AB'C\) (cạnh góc vuông - cạnh góc vuông)

\( \Rightarrow BC = B'C\) (2 cạnh tương ứng)

\( \Rightarrow \Delta BB'C\) cân tại \(C\).

Lại có \(\widehat {ABC} = {60^0}\) nên suy ra \(\Delta BB'C\) đều (dấu hiệu nhận biết tam giác đều) (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{BC}} =\dfrac{{AB}}{{BB'}}= \dfrac{1}{2}\)

Vì \(BD\) là đường phân giác của \(\Delta ABC\) nên:

\(\dfrac{{DA}}{{DC}} = \dfrac{{BA}}{{BC}} = \dfrac{1}{2}\)

b) \(∆ABC\) vuông tại \(A\) nên áp dụng định lí Pitago ta có:

\(\eqalign{
& A{C^2} = B{C^2} - A{B^2},\,BC = 2AB \cr 
& \Rightarrow A{C^2} = 4A{B^2} - A{B^2} = 3A{B^2} \cr 
& \Rightarrow AC = \sqrt {3A{B^2}} = AB\sqrt 3 \cr 
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 12,5\sqrt 3 \approx 21,65\,cm \cr} \)

Gọi \(p\) là chu vi \(∆ABC\)

\( \Rightarrow p = AB + BC + CA\)

\( \Rightarrow p = 3AB + AC = 3.12,5 + 12,5\sqrt 3 \)

\( \Rightarrow p = 12,5 (3+\sqrt 3 ) \approx 59,15\left( {cm} \right)\)

\({S_{ABC}} = \dfrac{1 }{ 2}AB.AC \approx 135,31(c{m^2})\)