Bài 64 trang 92 sgk Toán lớp 9 tập 2

Đề bài

Trên đường tròn bán kính \(R\) lần lượt đặt theo cùng một chiều, kể từ điểm \(A\), ba cung \(\overparen{AB}\), \(\overparen{BC}\), \(\overparen{CD}\) sao cho: \(sđ\overparen{AB}\)=\(60^0\), \(sđ\overparen{BC}\)=\(90^0\), \(sđ\overparen{CD}\)=\(120^0\)

a) Tứ giác \(ABCD\) là hình gì?

b) Chứng minh hai đường chéo của tứ giác \(ABCD\) vuông góc với nhau.

c) Tính độ dài các cạnh của tứ giác \(ABCD\) theo \(R\).

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Dựa vào các dấu hiệu nhận biết của các hình tứ giác đặc biệt và các tứ giác nào có thể nội tiếp đường tròn để chứng minh tứ giác ABCD là hình gì.

Chú ý rằng: Hình thang nội tiếp được đường tròn là hình thang cân.

b) Số đo của góc có đỉnh nằm trong đường tròn bằng nửa số đo của tổng hai cung bị chắn.

c) Sử dụng định lý : "Số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn."

Sử dụng định lý Pytagoo để tính toán.

Lời giải chi tiết

a) Xét đường tròn \((O)\) ta có:

\(\displaystyle \widehat {BA{\rm{D}}} = {{{{90}^0} + {{120}^0}} \over 2} = {105^0}\) (góc nội tiếp chắn \(\overparen{BCD}\))     (1)

\(\displaystyle \widehat {A{\rm{D}}C} = {{{{60}^0} + {{90}^0}} \over 2} = {75^0}\) ( góc nội tiếp chắn \(\overparen{ABC}\) )          (2)

Từ (1) và (2) có:

\(\widehat {BA{\rm{D}}} + \widehat {A{\rm{D}}C} = {105^0} + {75^0} = {180^0}\) (3)

Mà hai góc này ở vị trí trong cùng phía 

Nên \(AB // CD\). Do đó tứ giác \(ABCD\) là hình thang, mà hình thang nội tiếp đường tròn là hình thang cân. 

Vậy \(ABCD\) là hình thang cân suy ra (\(BC = AD\) và \(sđ\overparen{BC}\)=\(sđ\overparen{AD}\)=\(90^0\))

b) Giả sử hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) cắt nhau tại \(I\).

\(\widehat {CI{\rm{D}}}\) là góc có đỉnh nằm trong đường tròn, nên:

\(\displaystyle \widehat {CI{\rm{D}}}\) \(=\dfrac{sđ\overparen{AB}+sđ\overparen{CD}}{2}\)\(=\displaystyle {{{{60}^0} + {{120}^0}} \over 2} = {90^0}\)

Vậy \(AC \bot BD.\) 

c) Vì \(sđ\overparen{AB}= 60^0\) nên \(\widehat {AOB} = {60^0}\) (góc ở tâm)

\(=> ∆AOB\) đều, nên \(AB = OA = OB = R.\)

Vì  \( sđ \overparen{BC} = {90^0} \Rightarrow \widehat {BOC} = {90^0}\) (góc ở tâm)

\(\Rightarrow BC = \sqrt{OB^2+OC^2}=R\sqrt2.\)

Kẻ \(OH \bot CD.\)

Tứ giác \(ABCD\) là hình thang cân \(\Rightarrow \widehat{BCD}=\widehat{ADC}=75^0.\)

Lại có \(\Delta BOC\) vuông cân tại \(O \Rightarrow \widehat{BCO}=45^0.\)

\(\Rightarrow \widehat{OCD}=\widehat{BCD}-\widehat{BCO}=75^0-45^0=30^0.\)

Xét \(\Delta OCH\) vuông tại \(H\) ta có:

\(HC=OC.\cos \widehat{OCH}=\dfrac{R\sqrt{3}}{2}.\)

Mà \(H\) là trung điểm của \(CD\) (định lý đường kính vuông góc với dây cung thì đi qua trung điểm của dây ấy).

\(\Rightarrow CD=2.CH=R\sqrt3.\)