Bài 7 trang 102 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2

Đề bài

Cho đường tròn (O) và đường thẳng (d) ở ngoài đường tròn. Gọi A là hình chiếu của O trên d. Từ A kẻ cát tuyến ABC với đường tròn (B nằm giữa A và C). Hai tiếp tuyến Bx và Cy cắt d lần lượt tại D và E. Chứng minh AE = AD.

Lời giải chi tiết

Xét tứ giác OAEC có: \(\widehat {OAE} + \widehat {OCE} = {90^0} + {90^0} = {180^0} \Rightarrow \)Tứ giác OAEC là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng 2 góc đối bằng 180⁰)

\( \Rightarrow \widehat {OEC} = \widehat {OAC}\) (1) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung OC)

Xét tứ giác OBAD có: \(\widehat {OBD} = \widehat {OAD} = {90^0} \Rightarrow \) Hai điểm A, B cùng nhìn OD dưới góc 90⁰\( \Rightarrow A;B\) thuộc đường tròn đường kính OD \( \Rightarrow \) Tứ giác OBAD là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính OD \( \Rightarrow \widehat {OAB} = \widehat {ODB} = \widehat {OAC}\)  (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \widehat {OEC} = \widehat {ODB}.\)

Xét \({\Delta }OCE\) và \({\Delta }OBD\) có \(OC = OB = R;\,\,\widehat {OCE} = \widehat {ODB}\,\,\left( {cmt} \right)\)

\( \Rightarrow {\Delta }OCE = {\Delta }OBD\) (cạnh góc vuông – góc nhọn)

\( \Rightarrow OE = OD\) (2 cạnh tương ứng) \( \Rightarrow \Delta OED\) cân tại O

\( \Rightarrow \) Đường cao OA đồng thời là đường trung tuyến \(AE = AD\)  (đpcm).