Bài 7 trang 122 sgk đại số 11

\(\lim({n^3} + {\rm{ }}2{n^2}-{\rm{ }}n{\rm{ }} + {\rm{ }}1)\);

Phương pháp giải:

Sử dụng định lí 2c trang 119 SGK:

Nếu \(\lim u_n= +∞\) và \(\lim v_n= a > 0\) thì \(\lim (u_n.v_n) = +∞\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
\lim \left( {{n^3} + 2{n^2} - n + 1} \right) \\= \lim {n^3}\left( {1 + \dfrac{2}{n} - \dfrac{1}{{{n^2}}} + \dfrac{1}{{{n^3}}}} \right)
\end{array}\)

Vì \(\lim {n^3} = + \infty \) và

\(\lim \left( {1 + \dfrac{2}{n} - \dfrac{1}{{{n^2}}} + \dfrac{1}{{{n^3}}}} \right) \)

\( = 1 + \lim \dfrac{2}{n} - \lim \dfrac{1}{{{n^2}}} + \lim \dfrac{1}{{{n^3}}}\)

\(=1>0\)

\(\Rightarrow \lim \left( {{n^3} + 2{n^2} - n + 1} \right) = + \infty \)

\(\lim{\rm{ }}( - {n^2} + {\rm{ }}5n{\rm{ }}-{\rm{ }}2)\);

Phương pháp giải:

Sử dụng hệ quả suy ra từ định lí 2c trang 119 SGK:

Nếu \(\lim u_n= +∞\) và \(\lim v_n= a < 0\) thì \(\lim (u_n.v_n) = -∞\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
\lim \left( { - {n^2} + 5n - 2} \right) \\= \lim {n^2}\left( { - 1 + \dfrac{5}{n} - \dfrac{2}{{{n^2}}}} \right)
\end{array}\)

Vì \(\lim {n^2} = + \infty \) và
\(\lim \left( { - 1 + \dfrac{5}{n} - \dfrac{2}{{{n^2}}}} \right) \)

\( =  - 1 + \lim \dfrac{5}{n} - \lim \dfrac{2}{{{n^2}}}\)

\(=-1<0\)
\(\Rightarrow \lim \left( { - {n^2} + 5n - 2} \right) = - \infty \)

\(\lim (\sqrt{n^{2}-n}- n)\)

Phương pháp giải:

Sử dụng định lí 1 trang 114 SGK:

Nếu \(\lim u_n=a\) và \(\lim v_n= b\), thì:

\(lim{{{u_n}} \over {{v_n}}} = {a \over b}\) (nếu \(b ≠ 0\)).

Lời giải chi tiết:

\(\lim (\sqrt{n^{2}-n} - n) \) \(= \lim \dfrac{(\sqrt{n^{2}-n}-n)(\sqrt{n^{2}-n}+n)}{\sqrt{n^{2}-n}+n}\) 
\(= \lim \dfrac{n^{2}-n-n^{2}}{\sqrt{n^{2}-n}+n} \) \(= \lim \dfrac{-n}{\sqrt{{n^2}\left( {1 - {1 \over n}} \right)}+ n} \) \(= \lim \dfrac{-1}{\sqrt{1-\dfrac{1}{n}}+1} = \dfrac{-1}{2}\).

\(\lim (\sqrt{n^{2}-n} + n)\).

Phương pháp giải:

Sử dụng định lí 2c trang 119 SGK:

Nếu \(\lim u_n= +∞\) và \(\lim v_n= a > 0\) thì \(\lim (u_n.v_n) = +∞\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
\,\,\lim \left( {\sqrt {{n^2} - n} + n} \right) \\ = \lim \left( {\sqrt {{n^2}\left( {1 - \frac{1}{n}} \right)}  + n} \right) \\= \lim \left( {n\sqrt {1 - \frac{1}{n}}  + n} \right)\\= \lim n\left( {\sqrt {1 - \dfrac{1}{n}} + 1} \right)\\
\lim n = + \infty \\
\lim \left( {\sqrt {1 - \dfrac{1}{n}} + 1} \right) =1+1= 2 > 0\\
\Rightarrow \lim \left( {\sqrt {{n^2} - n} + n} \right) = + \infty 
\end{array}\)