Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R. Gọi M là một điểm thuộc nửa đường tròn và H là hình chiếu của M trên AB. Hãy xác định vị trí của M để AH + HM đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó theo R.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki: \({\left( {ax + by} \right)^2} \le \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\). Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \dfrac{a}{x} = \dfrac{b}{y}\).

Lời giải chi tiết

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:

\({\left( {AH + HM} \right)^2} \le 2\left( {A{H^2} + H{M^2}} \right) = 2A{M^2} \)

\(\Rightarrow AH + HM \le AM\sqrt 2 \).

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow AH = HM\), khi đó tam giác AHM vuông cân tại H.

\( \Rightarrow \widehat {MAH} = {45^0} \Rightarrow \widehat {MAB} = {45^0}\).

Ta có \(\widehat {AMB} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow \Delta MAB\) vuông tại M. Mà \(\widehat {MAB} = {45^0} \Rightarrow \Delta MAB\) vuông cân tại M \( \Rightarrow MA = AB.\sin {45^0} = 2R.\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = R\sqrt 2 \).

Vậy \({\left( {AH + HM} \right)_{\max }} = AM\sqrt 2 \)\(\,= R\sqrt 2 .\sqrt 2 = 2R\).

Fqa.vn

Báo cáo nội dung câu hỏi

Khác

Bình luận (0)

Bạn cần đăng nhập để bình luận

Xác nhận

Bạn chắc chắn muốn xóa nội dung này ?

Gợi ý sách

Xem thêm

Bạn có câu hỏi cần được giải đáp?

Bộ sách liên quan

FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)

Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn

Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.

Liên kết · Hỏi đáp bài tập · Giải bài tập SGK · Cẩm nang · Đề ôn luyện

hỗ trợ · Điều khoản & chính sách · Sitemap · Liên hệ · Hướng dẫn sử dụng · Đánh giá và góp ý · Dịch vụ FQA media

Tải ứng dụng FQA

Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024