Câu 7 trang 146 SGK Giải tích 12

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị \((C)\)  của hàm số đã cho.

Phương pháp giải:

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số theo các bước đã được học.

Lời giải chi tiết:

- Tập xác định: \(D=(-∞, 2) ∪(2, +∞).\)

- Sự biến thiên: \(\displaystyle y' = {2 \over {{{(2 - x)}^2}}} > 0,\forall x \in D\)

Nên hàm số đồng biến trên hai khoảng này.

- Hàm số không có cực trị

- Giới hạn tại vô cực và tiệm cận ngang

\(\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {2 \over {2 - x}} = 0;\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {2 \over {2 - x}} = 0\)

\( \Rightarrow y = 0\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

- Giới hạn vô cực và tiệm cận đứng:

\(\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} ({2 \over {2 - x}}) =  - \infty ;\) \(\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }}  = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} ({2 \over {2 - x}}) =  + \infty \)

\( \Rightarrow x = 2\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

- Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số:

Đồ thị hàm số:

Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ \(y = 1\), không cắt trục hoành.

b) Tìm các giao điểm của \((C)\)  và đồ thị của hàm số  \(y=x^2+1.\) Viết phương trình tiếp tuyến của \((C)\)  tại mỗi giao điểm.

Phương pháp giải:

Giải phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \((C)\) với đồ thị hàm số \(y=x^2+1\) tìm các giao điểm.

+) Sau đó lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \((C)\) dựa vào công thức: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=f(x)\) tại điểm \(x=x_0\) có công thức: \(y = y'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}.\)

Lời giải chi tiết:

Phương trình xác định hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:

\(\displaystyle {2 \over {2 - x}} = {x^2} + 1\) \( \Leftrightarrow {x^3} - 2{x^2} + x = 0 \Leftrightarrow x \in \left\{ {0,1} \right\}\)

Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm \(M_1(0; \, 1); \, M_2(1; \, 2).\)

Tiếp tuyến với đồ thị (C): \(\displaystyle y = {2 \over {2 - x}}\) tại điểm \(M_1\) có phương trình là:

\(y = y'\left( 0 \right)\left( {x - 0} \right) + 1 = \dfrac{1}{2}x + 1\).

Tiếp tuyến  tại điểm \(M_2\) có phương trình \(y =y'(1)(x-1)+2\) \(= 2(x – 1) + 2 = 2x.\)

c) Tính thể tích vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị (C) và các đường thẳng \(y = 0, \,  x = 0,  \, x = 1\) xung quanh trục \(Ox.\)

Phương pháp giải:

Khi quay hình phẳng được giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y=f(x), \, y=g(x)\) và các đường thẳng \(x=a, \, \, x=b \, (a<b)\) quanh trục \(Ox\) có thể tích được tính bởi công thức:

\[V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}\left( x \right) - {g^2}\left( x \right)} \right|dx.} \]

Lời giải chi tiết:

Trong khoảng \((0; 1)\) đồ thị (C) nằm phía trên trục hoành nên thể tích cần tính là :

\(\displaystyle V = \pi \int_0^1 {({2 \over {2 - x}}} {)^2}dx  = \left. {\pi .\frac{4}{{2 - x}}} \right|_0^1 \) \(= 2\pi. \)