Bài 7 trang 176 Tài liệu dạy – học Toán 7 tập 1

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A. GỌi M là trung điểm của BC, trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho M là trung điểm của AD.

a) Chứng minh rằng \(\Delta MAB = \Delta MDC.\)

b) Chứng minh rằng \(CD \bot AC.\)

c) Gọi N là trung điểm của AC. Chứng minh rằng NB = ND.

d) Cho \(\widehat {ABC} = {60^0}.\)  Chứng minh rằng \(\Delta MAB\) đều. Tinh AC khi biết AB = 8 cm.

Lời giải chi tiết

 

a)Xét tam giác MAB và MDC có:

MA = MD (M là trung điểm của AD)

MB = MC (M là trung điểm của BC)

\(\widehat {AMB} = \widehat {DMC}\)   (hai góc đối đỉnh)

Do đó: \(\Delta MAB = \Delta MDC(c.g.c).\)

b) Ta có: \(\widehat {ABM} = \widehat {DCM}(\Delta MAB = \Delta MDC)\)

Mà góc ABM và DCM so le trong. Do đó: AB // CD.

Ta có: \(AB \bot AC(\Delta ABC\)  vuông tại A) và AB // CD (chứng minh trên) \(\Rightarrow CD \bot AC.\)

c) Xét tam giác ANB và CND ta có:

AN = CN (N là trung điểm của AC)

\(\eqalign{  & \widehat {BAN} = \widehat {NCD}( = {90^0})  \cr  & AB = CD(\Delta MAB = \Delta MDC) \cr} \)

Do đó: \(\Delta ANB = \Delta CND(c.g.c) \Rightarrow NB = ND\)

d) Xét tam giác ABC và CDA có:

AB = CD

\(\widehat {BAC} = \widehat {DCA}( = {90^0})\)

AC là cạnh chung.

Do đó: \(\Delta ABC = \Delta CDA(c.g.c) \Rightarrow BC = AD\)

Mà \(MB = MC = {{BC} \over 2}\)   (M là trung điểm của BC)

Và \(MA = MD = {{AD} \over 2}\)   (M là trung điểm của AD)

Do đó: MB = MC = MA = MD.

Tam giác MAB có MB = MA => tam giác MAB cân tại M

Mà \(\widehat {ABC} = {60^0}(gt)\)  . Do đó tam giác MAB đều => MB = AB = 8cm.

Ta có: BC = 2MB = 2.8 = 16 (cm)

Tam giác ABC vuông tại A

\(\Rightarrow A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\)   (định lí Pythagore)

Do đó: \(A{C^2} = B{C^2} - A{B^2} = {16^2} - {8^2} = 256 - 64 = 192\)

Mà AC > 0. Vậy \(AC = \sqrt {192} (cm).\)