Bài 7 trang 28 SGK Hình học 12

Đề bài

Cho hình chóp \(S.ABCD\). Gọi \(A', B', C', D'\) theo thứ tự là trung điểm của \(SA, SB, SC, SD\). Tỉ số thể tích của hai khối chóp \(S.A'B'C'D'\) và \(S.ABCD\) bằng:

(A) \(\displaystyle {1 \over 2}\)         (B) \(\displaystyle{1 \over 4}\)

(C) \(\displaystyle{1 \over 8}\)         (D) \(\displaystyle{1 \over {16}}\)

Lời giải chi tiết

Ta có: \({V_{S.A'B'C'D'}} = {V_{S.A'B'C'}} + {V_{S.A'C'D'}}\)

\({\dfrac{{{V_{S.A'B'C'}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SA'}}{{SA}}.\dfrac{{SB'}}{{SB}}.\dfrac{{SC'}}{{SC}}= {\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{8}}}\)

\({ \Rightarrow {V_{S.A'B'C'}} = \dfrac{1}{8}.{V_{S.ABC}} ={ \dfrac{1}{8}.\dfrac{1}{2}.{V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{{16}}{V_{S.ABCD}}}}\)

\({\dfrac{{{V_{S.A'C'D'}}}}{{{V_{S.ACD}}}} = \dfrac{{SA'}}{{SA}}.\dfrac{{SC'}}{{SC}}.\dfrac{{SD'}}{{SD}} = {\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{8}}}\)

\({ \Rightarrow {V_{S.A'C'D'}} = \dfrac{1}{8}{V_{S.ACD}} = {\dfrac{1}{8}.\dfrac{1}{2}{V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{{16}}{V_{S.ABCD}}}}\)

\( \Rightarrow {V_{S.A'B'C'D'}} = {V_{S.A'B'C'}} + {V_{S.A'C'D'}} \) \(= \dfrac{1}{{16}}.{V_{S.ABCD}} + \dfrac{1}{{16}}.{V_{S.ABCD}} = {\dfrac{1}{8}.{V_{S.ABCD}}}\)

Chọn (C).

Chú ý và sai lầm: KHÔNG ĐƯỢC sử dụng công thức trên như sau: \(\dfrac{{{V_{S.A'B'C'D'}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} =  \dfrac{{SA'}}{{SA}}.\dfrac{{SB'}}{{SB}}\dfrac{{SC'}}{{SC}}.\dfrac{{SD'}}{{SD}} \) \(= \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{{16}}\), đây là công thức SAI.