Bài 7 trang 31 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 1

Đề bài

Cho biểu thức  \(M = \left( {\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}} - \dfrac{{x + 4}}{{x - 4}}} \right):\left( {\dfrac{{2\sqrt x  - 1}}{{x - 2\sqrt x }} - \dfrac{1}{{\sqrt x }}} \right)\)\(\;\left( {x > 0,x \ne 4} \right)\).

a) Rút gọn M.

b) Tìm các giá trị nguyên của x để M nhận giá trị nguyên.

Lời giải chi tiết

a) Điều kiện: \(x > 0,\;\;x \ne 4.\)

\(\begin{array}{l}M = \left( {\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}} - \dfrac{{x + 4}}{{x - 4}}} \right):\left( {\dfrac{{2\sqrt x  - 1}}{{x - 2\sqrt x }} - \dfrac{1}{{\sqrt x }}} \right)\\ = \left[ {\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}} - \dfrac{{x + 4}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}} \right]:\left[ {\dfrac{{2\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right)}} - \dfrac{1}{{\sqrt x }}} \right]\\ = \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right) - x - 4}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}:\dfrac{{2\sqrt x  - 1 - \sqrt x  + 2}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right)}}\\ = \dfrac{{x - 2\sqrt x  - x - 4}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}:\dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right)}}\\ = \dfrac{{ - 2\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}.\dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{\sqrt x  + 1}}\\ =  - \dfrac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x  + 1}}.\end{array}\)

b)Điều kiện: \(x > 0,\;\;x \ne 4.\)

Ta có: \(M =  - \dfrac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x  + 1}} =  - \dfrac{{2\sqrt x  + 2 - 2}}{{\sqrt x  + 1}}\)\(\; =  - 2 + \dfrac{2}{{\sqrt x  + 1}}.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow M \in Z \Rightarrow \dfrac{2}{{\sqrt x  + 1}} \in Z\\ \Rightarrow \left( {\sqrt x  + 1} \right) \in Ư\left( 2 \right)\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x  + 1 = 1\\\sqrt x  + 1 = 2\end{array} \right.\;\;\;\left( {do\;\;\sqrt x  + 1 > 0} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x  = 0\\\sqrt x  = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\;\;\;\left( {ktm} \right)\\x = 1\;\;\;\left( {tm} \right)\end{array} \right..\end{array}\)

Vậy \(x = 1\) thỏa mãn điều kiện bài toán.