Bài 7 trang 39 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 1

Đề bài

\(P = \left( {\dfrac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}} + \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}} - \dfrac{{3x + 3}}{{x - 9}}} \right):\left( {\dfrac{{2\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  - 3}} - 1} \right)\).

a) Rút gọn P.

b) Tìm x để \(P < \dfrac{1}{2}\).

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.

Lời giải chi tiết

a) Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\\sqrt x  - 3 \ne 0\\x - 9 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 9\end{array} \right..\)

\(\begin{array}{l}P = \left( {\dfrac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}} + \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}} - \dfrac{{3x + 3}}{{x - 9}}} \right):\left( {\dfrac{{2\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  - 3}} - 1} \right)\\ = \dfrac{{2\sqrt x \left( {\sqrt x  - 3} \right) + \sqrt x \left( {\sqrt x  + 3} \right) - 3x - 3}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}:\dfrac{{2\sqrt x  - 2 - \sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  - 3}}\\ = \dfrac{{2x - 6\sqrt x  + x + 3\sqrt x  - 3x - 3}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}.\dfrac{{\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x  + 1}}\\ = \dfrac{{ - 3\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x  + 3}}.\dfrac{1}{{\sqrt x  + 1}}\\ =  - \dfrac{{3\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} \\=  - \dfrac{3}{{\sqrt x  + 3}}.\end{array}\)

b) Điều kiện:\(x \ge 0;\;\;x \ne 9.\)

\(\begin{array}{l}P < \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow  - \dfrac{3}{{\sqrt x  + 3}} < \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{3}{{\sqrt x  + 3}} + \dfrac{1}{2} > 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{6 + \sqrt x  + 3}}{{2\left( {\sqrt x  + 3} \right)}} > 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt x  + 9}}{{2\left( {\sqrt x  + 3} \right)}} > 0\end{array}\)

Ta thấy với mọi \(x \ge 0\) thì \(\dfrac{{\sqrt x  + 9}}{{2\left( {\sqrt x  + 3} \right)}} > 0.\)

Vậy với \(x \ge 0,\;\;x \ne 9\) thì \(P < \dfrac{1}{2}.\)

c) Điều kiện:\(x \ge 0;\;\;x \ne 9.\)

Ta có: \(P =  - \dfrac{3}{{\sqrt x  + 3}}\)

\(\sqrt x  \ge 0 \Rightarrow \sqrt x  + 3 \ge 3\)\(\; \Rightarrow \dfrac{1}{{\sqrt x  + 3}} \le \dfrac{1}{3}\)\(\; \Rightarrow \dfrac{{ - 3}}{{\sqrt x  + 3}} \ge  - \dfrac{3}{3} =  - 1.\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \sqrt x  = 0 \Leftrightarrow x = 0.\)

Vậy \(P\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \( - 1\) khi \(x = 0.\)