Bài 8 trang 100 SGK Hình học 12

Chứng minh rằng $$ không đồng phẳng.

Phương pháp giải:

Viết phương trình mặt phẳng (ABC) và chứng minh $$.

Lời giải chi tiết:

Ta có $$, $$

Ta có: $$

Gọi $$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $$ $$

Khi đó phương trình mp $$: $$

$$.

Thay tọa độ điểm D vào phương trình mặt phẳng (ABC) ta có: $$.

Vậy $$ không đồng phẳng.

Viết phương trình mặt phẳng $$ và tính khoảng cách từ $$ đến $$.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính khoảng cách từ 1 điểm đến một mặt phẳng.

Khoảng cách từ điểm $$ đến mặt phẳng $$ là: $$

Lời giải chi tiết:

$$ =$$

Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $$.

Phương pháp giải:

Gọi phương trình tổng quát của mặt cầu là $$.

Thay tọa độ các điểm A, B, C, D vào phương trình mặt cầu trên, suy ra được hệ 4 phương trình 4 ẩn A, B, C, D. Giải hệ phương trình sau đó suy ra phương trình mặt cầu.

Lời giải chi tiết:

Phương trình tổng quát của mặt cầu:

Mặt cầu đi qua $$ ta có:

$$(1)

Tương tự, mặt cầu đi qua $$ cho ta các phương trình:

$$     (2)

$$    (3)

$$    (4)

Hệ bốn phương trình (1), (2), (3), (4) cho ta: $$.

Vậy hương trình mặt cầu đi qua bốn điểm $$ là: $$

Cách khác:

Ta có:

$$ và $$

Nên hai tam giác $$ vuông tại $$.

Gọi $$ là trung điểm $$ thì $$ nên $$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.

Mà $$ nên $$.

Bán kính $$.

Phương trình mặt cầu: $$ hay $$

Tính thể tích tứ diện $$.

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Ta có: $$

Vậy $$

Cách khác:

Ta có: $$

$$ $$ $$.

$$ tam giác $$ vuông tại $$ $$ $$.

Mà $$ nên $$$$.