Bài 8 trang 100 SGK Hình học 12

Chứng minh rằng \(A, B, C, D\) không đồng phẳng.

Phương pháp giải:

Viết phương trình mặt phẳng (ABC) và chứng minh \(D \notin \left( {ABC} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\overrightarrow {AB} = (2; 4; -1)\), \(\overrightarrow {AC} = (3; -1; 2)\)

Ta có: \( \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] =  (7; -7; -14)=7(1;-1;-2)\)

Gọi \(\overrightarrow n \) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((ABC)\) \( \Rightarrow \overrightarrow n  = \left( {1; - 1; - 2} \right)\)

Khi đó phương trình mp \((ABC)\): \((x - 1) - (y - 0) -2(z + 1) = 0 \)

\(\Leftrightarrow x - y - 2z - 3 = 0\).

Thay tọa độ điểm D vào phương trình mặt phẳng (ABC) ta có: \(3 - 0 - 2.3 - 3 =  - 6 \ne 0 \Rightarrow D \notin \left( {ABC} \right)\).

Vậy \(A, B, C, D\) không đồng phẳng.

Viết phương trình mặt phẳng \((ABC)\) và tính khoảng cách từ \(D\) đến \((ABC)\).

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính khoảng cách từ 1 điểm đến một mặt phẳng.

Khoảng cách từ điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,Ax + By + Cz + D = 0\,\,\left( {{A^2} + {B^2} + {C^2} > 0} \right)\) là: \(d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\)

Lời giải chi tiết:

\(\displaystyle d(D, (ABC))\) =\(\displaystyle {{\left| {1.3 - 0 - 2.3 - 3} \right|} \over {\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{( - 2)}^2}} }} = {6 \over {\sqrt 6 }} = \sqrt 6 \)

Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\).

Phương pháp giải:

Gọi phương trình tổng quát của mặt cầu là \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0\).

Thay tọa độ các điểm A, B, C, D vào phương trình mặt cầu trên, suy ra được hệ 4 phương trình 4 ẩn A, B, C, D. Giải hệ phương trình sau đó suy ra phương trình mặt cầu.

Lời giải chi tiết:

Phương trình tổng quát của mặt cầu:

\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0\)

Mặt cầu đi qua \(A(1; 0; -1)\) ta có:

\({1^2} + {0^2} + {( - 1)^2} + 2A - 2C + D = 0 \)

\(\Leftrightarrow 2A - 2C + D + 2 = 0 \)(1)

Tương tự, mặt cầu đi qua \(B, C, D\) cho ta các phương trình:

\(6A + 8B - 4C + D + 29 = 0 \)     (2)

\(8A - 2B + 2C + D + 18 = 0 \)    (3)

\(6A  + 6C + D + 18 = 0  \)    (4)

Hệ bốn phương trình (1), (2), (3), (4) cho ta: \(A = -3; B =- 2; C = {-1 \over 2}; D = 3\).

Vậy hương trình mặt cầu đi qua bốn điểm \(A, B, C, D\) là: \({x^2} + {y^2} + {z^2} -6 x - 4y - z +3 = 0\)

Cách khác:

Ta có:

\(\overrightarrow {AB}  = \left( {2;4; - 1} \right),\overrightarrow {AD}  = \left( {2;0;4} \right),\) \(\overrightarrow {CB}  = \left( { - 1;5; - 3} \right),\overrightarrow {CD}  = \left( { - 1;1;2} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  = 0\) và \(\overrightarrow {CB} .\overrightarrow {CD}  = 0\)

\( \Rightarrow CB \bot CD,AB \bot AD\)

Nên hai tam giác \(ABD,CBD\) vuông tại \(A,C\).

Gọi \(I\) là trung điểm \(BD\) thì \(IA = IB = ID = IC = \dfrac{{BD}}{2}\) nên \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.

Mà \(B\left( {3;4; - 2} \right),D\left( {4; - 1;1} \right)\) nên \(I\left( {3;2;\dfrac{1}{2}} \right)\).

Bán kính \(R = \dfrac{{BD}}{2} = \dfrac{{\sqrt {0 + 16 + 25} }}{2} = \dfrac{{\sqrt {41} }}{2}\).

Phương trình mặt cầu: \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - \dfrac{1}{2}} \right)^2} = \dfrac{{41}}{4}\) hay \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x - 4y - z + 3 = 0\)

Tính thể tích tứ diện \(ABCD\).

Phương pháp giải:

\({V_{ABCD}} = \dfrac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right|\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow {AD}  = \left( {2;0;4} \right)\)

\(\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD}  = 7.2 - 7.0 - 14.4 =  - 42\)

Vậy \({V_{ABCD}} = \dfrac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right| = \dfrac{1}{6}.42 = 7\)

Cách khác:

Ta có: \({V_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}{S_{ABC}}.d\left( {D,\left( {ABC} \right)} \right)\)

\(\overrightarrow {AB}  = \left( {2;4; - 1} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( {3; - 1;2} \right)\) \( \Rightarrow AB = \sqrt {4 + 16 + 1}  = \sqrt {21} ,\) \(AC = \sqrt {9 + 1 + 4}  = \sqrt {14} \).

\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = 0 \Rightarrow AB \bot AC\)

\( \Rightarrow \) tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) \( \Rightarrow {S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC\) \( = \dfrac{1}{2}\sqrt {21} .\sqrt {14}  = \dfrac{{7\sqrt 6 }}{2}\).

Mà \(d\left( {D,\left( {ABC} \right)} \right) = \sqrt 6 \) nên \({V_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}{S_{ABC}}.d\left( {D,\left( {ABC} \right)} \right)\)\( = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{7\sqrt 6 }}{2}.\sqrt 6  = 7\).