Bài 8 trang 31 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 1

Đề bài

Công thức Heron để tính diện tích tam giác là \(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \), trong đó a, b, c là độ dài ba cạnh và \(p = \dfrac{{a + b + c}}{2}\) là nửa chu vi tam giác.

Tính diện tích tam giác ABC, biết ba cạnh của nó là \(AB = a,AC = \dfrac{a}{2},BC = \dfrac{{a\sqrt 7 }}{2}\).

Lời giải chi tiết

Ta có nửa chu vi tam giác ABC là:

\(p = \dfrac{{AB + BC + CA}}{2} \)\(\;= \dfrac{1}{2}\left( {a + \dfrac{{a\sqrt 7 }}{2} + \dfrac{a}{2}} \right) \)\(\;= \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{3a + a\sqrt 7 }}{2}} \right) = \dfrac{{\left( {3 + \sqrt 7 } \right)a}}{4}.\)

Áp dụng hệ thức Heron ta có diện tích tam giác ABC là:

\(S = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} \)

\( = \sqrt {\frac{{(3 + \sqrt 7 )a}}{4}\left( {\frac{{(3 + \sqrt 7 )a}}{4} - a} \right)\left( {\frac{{(3 + \sqrt 7 )a}}{4} - \frac{a}{2}} \right)\left( {\frac{{(3 + \sqrt 7 )a}}{4} - \frac{{a\sqrt 7 }}{2}} \right)} \)

\( = \sqrt {\frac{{(3 + \sqrt 7 )a}}{4} \cdot \frac{{(3 + \sqrt 7  - 4)a}}{4} \cdot \frac{{(3 + \sqrt 7  - 2)a}}{4} \cdot \frac{{(3 + \sqrt 7  - 2\sqrt 7 )a}}{4}} \)

\( = \sqrt {\frac{{{a^4}}}{{{4^4}}} \cdot (3 + \sqrt 7 )(\sqrt 7  - 1)(1 + \sqrt 7 )(3 - \sqrt 7 )} \)

\( = \frac{{{a^2}}}{{{4^2}}}\sqrt {\left( {{3^2} - 7} \right)(7 - 1)}  = \frac{{{a^2}}}{{16}}\sqrt {2 \cdot 6} \)

\( = \frac{{{a^2}}}{{16}} \cdot 2\sqrt 3  = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{8}\)