Câu 9 trang 147 SGK Giải tích 12

a) \({13^{2x + 1}} - {13^x} - 12 = 0\)

Phương pháp giải:

+) Tìm điều kiện xác định.

+) Sử dụng các phương pháp giải phương trình logarit để giải phương trình: đổi biến, mũ hóa, hàm số.......

+)  \({\log _a}f\left( x \right) = b \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) > 0\\f\left( x \right) = {a^b}\end{array} \right..\)

+) \({\left( a \right)^{f\left( x \right)}} = b \Leftrightarrow f\left( x \right) = {\log _a}b.\) 

Lời giải chi tiết:

Phương trình: \( \Leftrightarrow {13.13^{2x}} - {13^x} - 12 = 0.\)

Đặt  \(t = 13^x > 0\) ta được phương trình:

\(13t^2 – t – 12 = 0  ⇔ (t – 1)(13t + 12) = 0\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t - 1 = 0\\
13t + 12 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 1\;\;\left( {tm} \right)\\
t = - \dfrac{{12}}{{13}}\;\;\left( {ktm} \right)
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow {13^x} = 1 \Leftrightarrow x = 0.
\end{array}\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x=0.\)

b) \(({3^x} + {\rm{ }}{2^x})({3^x} + {\rm{ }}{3.2^x}){\rm{ }} = {\rm{ }}{8.6^x}\)

Lời giải chi tiết:

Chia cả hai vế phương trình cho \(9^x\) ta được phương trình tương đương

\(\dfrac{{{3^x} + {2^x}}}{{{3^x}}}.\dfrac{{{3^x} + {{3.2}^x}}}{{{3^x}}} = 8.\dfrac{{{6^x}}}{{{9^x}}}\) \( \Leftrightarrow \left[ {1 + {{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)}^x}} \right].\left[ {1 + 3.{{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)}^x}} \right] = 8.{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^x}\)

Đặt \(t = {({2 \over 3})^x} (t > 0)\) , ta được phương trình:

\(\left( {1 + t} \right)\left( {1 + 3t} \right) = 8t\) \( \Leftrightarrow 1 + 4t + 3{t^2} - 8t = 0\) \( \Leftrightarrow 3{t^2} - 4t + 1 = 0 \) \(\Leftrightarrow \left( {t - 1} \right)\left( {3t - 1} \right) = 0 \) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 1\\
t = \dfrac{1}{3}
\end{array} \right.\)

Với \(\displaystyle t = {1 \over 3}\) ta được nghiệm \(\displaystyle x = {\log _{{2 \over 3}}}{1 \over 3}\)

Với \(t = 1\) ta được nghiệm \(x = 0.\)

Vậy phương trình có hai nghiệm: \(x=0\) và \(\displaystyle x= {\log _{{2 \over 3}}}{1 \over 3}. \)

c) \({\log _{\sqrt 3 }}(x - 2).{\log _5}x = 2{\log _3}(x - 2)\)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x > 2\)

\(\eqalign{
& Pt \Leftrightarrow 2lo{g_3}(x - 2).lo{g_5}x = 2lo{g_3}(x - 2) \cr 
& \Leftrightarrow 2lo{g_3}(x - 2)({\log _5}x - 1) = 0 \cr} \)

\(\Leftrightarrow\left[ \matrix{{\log _3}(x - 2) = 0 \hfill \cr lo{g_5}x = 1 \hfill \cr}  \right. \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x - 2 = 1\\
x = 5
\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{x = 3 (tm) \hfill \cr x = 5 (tm) \hfill \cr}  \right.\)

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x=3\) và \(x=5.\)

d) \(\log_2^2x{\rm{ }}-{\rm{ }}5\log_2x{\rm{ }} + {\rm{ }}6{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x > 0\)

\(\eqalign{
& \log _2^2x - 5{\log _2}x + 6 = 0 \cr 
& \Leftrightarrow ({\log _2}x - 2)({\log _2}x - 3) = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{\log _2}x = 2 \hfill \cr 
{\log _2}x = 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 4 (tm)\hfill \cr 
x = 8  (tm)\hfill \cr} \right. \cr} \)

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt: \(x=4\) và \(x=8.\)