Bài 9 trang 28 SGK Hình học 12

Đề bài

Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Tỉ số thể tích của khối tứ diện \(ACB'D'\) và khối hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) bằng:

(A) \(\displaystyle {1 \over 2}\)                 (B) \(\displaystyle{1 \over 3}\)

(C) \(\displaystyle{1 \over 4}\)                (D) \(\displaystyle{1 \over 6}\)

Lời giải chi tiết

Giả sử diện tích đáy hình hộp là: \(S\) chiều cao là \(h\)

Thể tích hình hộp là \(V=Sh\)

Hình hộp được chia thành \(5\) khối tứ diện \(A’.AB'D';\) \( B.AB’C;;\) \(  C’.B’CD’;\) \( D.ACD’\) và \(ACB’D’.\) 

Ta có:

\({V_{A'.AB'D'}} = {V_{A.A'B'D'}}\) \( = \dfrac{1}{3}.h.{S_{A'B'D'}} = \dfrac{1}{3}h.\dfrac{1}{2}S\) \( = \dfrac{1}{6}.Sh = \dfrac{1}{6}.V\)

Tương tự \({V_{B.AB'C}} = {V_{C'.B'CD'}} = {V_{D.ACD'}} = \dfrac{1}{6}V\)

Do đó

\({V_{ACB'D'}} = V - \;({V_{A'AB'D'}} + {V_{BAB'C}} + {V_{C'B'CD'}} + {V_{DACD'}})\)

\(\begin{array}{l} = V - \left( {\dfrac{1}{6}V + \dfrac{1}{6}V + \dfrac{1}{6}V + \dfrac{1}{6}V} \right)\\ = V - \dfrac{2}{3}V\\ = \dfrac{1}{3}V\\ \Rightarrow \dfrac{{{V_{ACB'D'}}}}{V} = \dfrac{1}{3}\end{array}\)

Chọn (B).