PHẦN HÌNH HỌC - TOÁN 9 TẬP 1

Bài 9 trang 70 sgk Toán 9 - tập 1

Đề bài

Cho hình vuông \(ABCD\). Gọi \(I\) là một điểm nằm giữa \(A\) và \(B\). Tia \(DI\) và tia \(CB\) cắt nhau ở \(K\). Kẻ đường thẳng qua \(D\), vuông góc với \(DI\). Đường thẳng này cắt đường thẳng \(BC\) tại \(L\). Chứng minh rằng:

a) Tam giác \(DIL\) là một tam giác cân;

b) Tổng \(\dfrac{1}{DI^{2}}+\dfrac{1}{DK^{2}}\) không đổi khi \(I\) thay đổi trên cạnh \(AB\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Chứng minh hai tam giác bằng nhau\((\Delta{ADI}\) và \(\Delta{CDL})\) từ đó suy ra hai cạnh tương ứng bằng nhau.

b) Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông: \(\dfrac{1}{h^2}=\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\) để đưa tổng đã cho về tổng của các số không đổi.

Lời giải chi tiết

 

a) Xét \(\Delta ADI\) và \(\Delta CDL\) có: 

               \(\widehat{A}=\widehat{C}= 90^{\circ}\)

              \(AD=CD\) (hai cạnh hình vuông)

             \(\widehat{D_{1}}=\widehat{D_{2}}\)  (cùng phụ với \(\widehat{CDI})\)

Do đó \(\Delta ADI=\Delta CDL\) (g.c.g)

\(\Rightarrow DI=DL\) ( 2 cạnh tương ứng)

Vậy \(\Delta DIL\) cân tại D (đpcm).

b) Xét \(\Delta{DLK}\) vuông tại \(D\), đường cao \(DC\).

Áp dụng hệ thức lượng \(\dfrac{1}{h^{2}}=\dfrac{1}{b^{2}}+\dfrac{1}{c^{2}}\) trong tam giác vuông DKL, đường cao DC, ta có:

                 \(\dfrac{1}{DC^{2}}=\dfrac{1}{DL^{2}}+\dfrac{1}{DK^{2}}\)  (mà \(DL=DI)\)

\(\Rightarrow \dfrac{1}{DC^{2}}=\dfrac{1}{DI^{2}}+\dfrac{1}{DK^{2}}\)

Do ABCD cố định nên \(DC\) không đổi, do đó \(\dfrac{1}{DI^{2}}+\dfrac{1}{DK^{2}}\) là không đổi.

Chú ý: Câu a) chỉ là gợi ý để làm câu b). Điều phải chứng minh ở câu b) rất gần với hệ thức \(\dfrac{1}{h^{2}}=\dfrac{1}{b^{2}}+\dfrac{1}{c^{2}}\)

Nếu đề bài không cho gợi ý vẽ \(DL\perp DK\) thì ta vẫn phải kẻ thêm đường nét phụ \(DL\perp DK\) để có thể vận dụng hệ thức trên.

Fqa.vn
Bình chọn:
0/5 (0 đánh giá)
Báo cáo nội dung câu hỏi
Bình luận (0)
Bạn cần đăng nhập để bình luận
Bạn chắc chắn muốn xóa nội dung này ?
FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)
Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn
Location Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.
Tải ứng dụng FQA
Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024
Copyright © 2023 fqa.vn All Rights Reserved