Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng d với mặt phẳng (P) có phương trình :
\(\eqalign{ & d:{{x - 12} \over 4} = {{y - 9} \over 3} = {{z - 1} \over 1}, \cr & (P):3x + 5y - z - 2 = 0 \cr} \)
LG a
Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d với mặt phẳng (P). Tính góc giữa d và (P)
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng d đi qua điểm (12 ; 9 ; 1) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_d}} \left( {4{\rm{ }};{\rm{ }}3{\rm{ }};{\rm{ }}1} \right).\) Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_P}} = {\rm{ }}\left( {3{\rm{ }};{\rm{ }}5{\rm{ }};{\rm{ }} - 1} \right).\)
Vì \(\overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {{n_P}} = {\rm{ }}4.3{\rm{ }} + {\rm{ }}3.5{\rm{ }} + {\rm{ 1}}.\left( { - 1} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}26 \ne 0\) nên d cắt (P).
Gọi A là giao điểm của d với (P), toạ độ điểm A(x ; y ; z) thoả mãn hệ
\(\left\{ \matrix{ x = 12 + 4t \hfill \cr y = 9 + 3t \hfill \cr z = 1 + t \hfill \cr 3x + 5y - z - 2 = 0 \hfill \cr} \right. \)\(\Rightarrow t = - 3 \Rightarrow A = \left( {0;0; - 2} \right)\)
Gọi \(\alpha \) là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P), ta có :
\(\sin \alpha = {{\left| {\overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {{n_P}} } \right|} \over {\left| {\overrightarrow {{u_d}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_P}} } \right|}} = {{26} \over {\sqrt {26} .\sqrt {35} }} = {{\sqrt {26} } \over {\sqrt {35} }}.\)
LG b
Viết phương trình mặt phẳng (P’) đi qua điểm M0 (1; 2; -1) và vuông góc với đường thẳng d.
Lời giải chi tiết:
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) vuông góc với d nên có vectơ pháp tuyến là vectơ chỉ phương của d. Do đó, \(\left( {P'} \right)\) có phương trình :
\(4(x - {\rm{ }}1){\rm{ }} + {\rm{ }}3(y - {\rm{ }}2){\rm{ }} + {\rm{ }}1(z{\rm{ }} + 1){\rm{ }} = {\rm{ }}0\) hay \(4x + {\rm{ }}3y{\rm{ }} + {\rm{ }}z{\rm{ }} - {\rm{ }}9{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\)
LG c
Viết phương trình hình chiếu vuông góc d' của d trên mặt phẳng (P).
Lời giải chi tiết:
Hình chiếu \(d'\) của \(d\) trên mp(P) là giao tuyến của mp(P) và mp\(\left( Q \right)\), với \(\left( Q \right)\) đi qua d và vuông góc với (P). Như vậy, \(\left( Q \right)\) có vectơ pháp tuyến là :
\(\overrightarrow {{n_Q}} = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left( {\left| {\matrix{ 3 & 1 \cr 5 & { - 1} \cr } } \right|;\left| {\matrix{ 1 & 4 \cr { - 1} & 3 \cr } } \right|;\left| {\matrix{ 4 & 3 \cr 3 & 5 \cr } } \right|} \right) \)
\(= \left( { - 8;7;11} \right).\)
Phương trình tổng quát của mp\(\left( Q \right)\) là
\( - 8\left( {x{\rm{ }} - {\rm{ }}12} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}7\left( {y{\rm{ }} - {\rm{ }}9} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}11\left( {z{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0\)
hay \(8x{\rm{ }} - {\rm{ }}7y - 11{\rm{ }}z{\rm{ }} - {\rm{ }}22{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\)
Vậy hình chiếu \(d'\) của \(d\) trên mp\(\left( P \right)\) là giao tuyến của hai mặt phẳng :
\(3x + 5y{\rm{ }} - {\rm{ }}z{\rm{ }} - {\rm{ }}2{\rm{ }} = 0\) và \(8x{\rm{ }} - {\rm{ 7}}y{\rm{ }} - 1{\rm{1}}z{\rm{ }} - {\rm{ }}22{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\)
Đường thẳng d' có phương trình tham số là
\(\left\{ \matrix{ x = 62t \hfill \cr y = - 25t \hfill \cr z = - 2 + 61t. \hfill \cr} \right.\)
LG d
Cho điểm B(1; 0; -1), hãy tìm tọa độ điểm B’ sao cho (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng BB’.
Lời giải chi tiết:
(P) là mặt phẳng trung trực của BB' khi và chỉ khi \(BB' \bot (P)\) và giao điểm của BB' với (P) là trung điểm của đoạn thẳng BB'.
Ta có phương trình đường thẳng BB' là
\(\left\{ \matrix{ x = 1 + 3t \hfill \cr y = 5t \hfill \cr z = - 1 - t. \hfill \cr} \right.\)
Gọi H là giao điểm của BB' với (P) thì toạ độ (x ; ỵ ; z) của H thoả mãn hệ :
\(\left\{ \matrix{ x = {\rm{ }}1{\rm{ }} + 3t \hfill \cr {\rm{ }}y = {\rm{ }}5t{\rm{ }} \hfill \cr z = {\rm{ }} - 1{\rm{ }} - t \hfill \cr 3x{\rm{ }} + {\rm{ }}5y - z - 2{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \hfill \cr} \right. \)
\(\Rightarrow t = - {2 \over {35}} \Rightarrow H = \left( {{{29} \over {35}}; - {2 \over 7}; - {{33} \over {35}}} \right).\)
H là trung điểm của BB' nên
\(\left\{ \matrix{ {x_{B'}} = 2{x_H} - {x_B} = {{23} \over {35}} \hfill \cr {y_{B'}} = 2{y_H} - {y_B} = - {4 \over 7} \hfill \cr {z_{B'}} = 2{z_H} - {z_B} = - {{31} \over {35}} \hfill \cr} \right. \Rightarrow B' = \left( {{{23} \over {35}}; - {4 \over 7}; - {{31} \over {35}}} \right)\)
LG e
Viết phương trình đường thẳng \(\Delta\) nằm trong mặt phẳng (P), vuông góc và cắt đường thẳng d.
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng \(\Delta \) phải tìm nằm trong mp(P), đồng thời nằm trong mặt phẳng (R) đi qua \(A\left( {0{\rm{ }};{\rm{ }}0{\rm{ }};{\rm{ }} - 2} \right)\) và vuông góc với d.
Mặt phẳng (R) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_R}} = {\rm{ }}\left( {4{\rm{ }};{\rm{ }}3{\rm{ }};{\rm{ }}1} \right)\) nên có phương trình
\(4x + {\rm{ }}3y{\rm{ }} + {\rm{ }}z{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\)
Vậy \(\Delta \) là giao tuyến của hai mặt phẳng \(3x + 5y{\rm{ }} - {\rm{ }}z{\rm{ }} - {\rm{ }}2 = {\rm{ }}0\) và\(\;4x + {\rm{ }}3y{\rm{ + }}z{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}0;\) suy ra \(\Delta \) có phương trình tham số là
\(\left\{ {\matrix{ {{x } = {\rm{ 8}}t} \hfill \cr \matrix{ y{\rm{ }} = {\rm{ }} - 7t{\rm{ }} \hfill \cr z{\rm{ }} = - 2 - 11t. \hfill \cr} \hfill \cr } } \right.\)
Đề kiểm tra 15 phút - Chương 7 – Hóa học 12
Bài 13. Thực hành: đọc bản đồ địa hình, điền vào lược đồ trống một số dãy núi và đỉnh núi
Bài 33. Vấn đề chuyển dịch cơ cấu kinh tế theo ngành ở Đồng bằng sông Hồng
Unit 4. School Education System
Chương 1. Cơ chế di truyền và biến dị
Quên mật khẩu ?
Hoặc đăng nhập với
Điểm cần để chuộc tội: 0
Bé Cà đang rất bực vì quỹ điểm của bạn đã đạt ngưỡng báo động. Bé Cà đã tắt quyền đặt câu hỏi của bạn. Mau kiếm bù điểm chuộc lỗi với bé Cà
FQA tặng bạn
HSD: -
Xem lại voucher tại Trang cá nhân -> Lịch sử quà tặng
FQA tặng bạn
HSD: -
Xem lại voucher tại Trang cá nhân -> Lịch sử quà tặng
Để nhận quà tặng voucher bạn cần hoàn thành một nhiệm vụ sau