Bài tập 15 trang 174 Tài liệu dạy – học Toán 8 tập 1

Đề bài

Cho một hình thang cân có hai đường chéo vuông góc và có độ dài là 10 cm. Tính diện tích của tứ giác có các đỉnh là trung điểm các cạnh của hình thang.

Lời giải chi tiết

Cách 1:

Ta có \(AC \bot BD\,\left( {gt} \right)\)

Do đó \({S_{ABCD}} = {1 \over 2}AC.BD = {1 \over 2}.10.10 = 50\,\,\,\left( {c{m^2}} \right)\)

Mà \({S_{BMN}} = {1 \over 2}{S_{ABN}}\,\,\left( {BM = {1 \over 2}AB} \right)\)

Và \({S_{ABN}} = {1 \over 2}{S_{ABC}}\,\,\left( {BN = {1 \over 2}BC} \right)\)

\( \Rightarrow {S_{BMN}} = {1 \over 4}{S_{ABC}}\)

Tương tự: \({S_{DPQ}} = {1 \over 4}{S_{ACD}}\)

Do đó \({S_{BMN}} + {S_{DPQ}} = {1 \over 4}\left( {{S_{ABC}} + {S_{ACD}}} \right) \)\(\,= {1 \over 4}{S_{ABCD}} = {1 \over 4}.50 = 12,5\,\,\left( {c{m^2}} \right)\)

Tương tự \({S_{AMQ}} + {S_{CNP}} = 12,5\,\,c{m^2}\)

Vậy \({S_{MNPQ}} = {S_{ABCD}} - \left( {{S_{AMQ}} + {S_{CNP}} + {S_{BMN}} + {S_{DPQ}}} \right)\)\(\, = 50 - \left( {12,5 + 12,5} \right) = 25\,\,\left( {c{m^2}} \right)\)

Cách 2:

M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC (gt)

\( \Rightarrow MN\) là đường trung bình của tam giác ABC \( \Rightarrow MN//AC\) và \(MN = {{AC} \over 2}\,\,\left( 1 \right)\)

Q, P lần lượt là trung điểm của AD và CD (gt)

\( \Rightarrow QP\) là đường trung bình của tam giác ACD \( \Rightarrow QP//AC\) và \(QP = {{AC} \over 2}\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra MN // QP và MN = QP

Suy ra tứ giác MNPQ là hình bình hành

Q, M lần lượt là trung điểm của AD và AB (gt)

\( \Rightarrow QM\) là đường trung bình của tam giác ADB \( \Rightarrow QM//BD\) và \(QM = {{BD} \over 2}\)

Ta có \(QM = {{BD} \over 2},\,\,MN = {{AC} \over 2}\)

Và \(AC = BD\) (Tứ giác ABCD là hình thang cân) do đó \(QM = MN\)

Ta có \(AC \bot BD\,\,\left( {gt} \right),\,\,\,QM//BD \Rightarrow QM \bot AC\)

Mà MN // AC nên \(QM \bot MN \Rightarrow \widehat {QMN} = {90^0}\)

Hình bình hành MNPQ có \(\widehat {QMN} = {90^0}\) nên là hình chữ nhật

Mặt khác \(QM = MN\) nên MNPQ là hình vuông.

\( \Rightarrow {S_{MNPQ}} = M{N^2} = {\left( {{{AC} \over 2}} \right)^2} \)\(\,= {{A{C^2}} \over 4} = {{{{10}^2}} \over 4} = 25\,\,\left( {c{m^2}} \right)\)