Bài tập 16 trang 111 Tài liệu dạy – học Toán 8 tập 2

Đề bài

Hãy tính thể tích và diện tích toàn phần của các hình không gian dưới đây.

Lời giải chi tiết

• Hình a là lăng trụ đứng: đáy là tam giác ABC vuông tại A, chiều cao của lăng trụ là 5cm

Diện tích tam giác đáy lăng trụ là: \({S_d} = {1 \over 2}.3.7 = 10,5({m^2})\)

Thế tích lăng trụ: \(V = S.h = 10,5.5 = 52,5({m^3})\)

∆ABC vuông tại A \( \Rightarrow A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\) (định lí Py-ta-go) \( \Rightarrow A{B^2} + A{C^2} = {7^2} = 49\)

Mặt khác \(AB.AC = AH.BC( = 2{S_{ABC}})\)

\(\Rightarrow AB.AC = 3.7 = 21\)

Ta có \({(AB + AC)^2} = A{B^2} + A{C^2} + 2AB.AC \)\(\,= 49 + 2.21 = 91 \)

\(\Rightarrow AB + AC = \sqrt {91} \)

Và \({(AB - AC)^2}\)\(\,= A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC \)\(\,= 49 - 2.21 = 7\)

\( \Rightarrow \left| {AB - AC} \right| = \sqrt 7 \)

\(\Rightarrow AC - AB = \sqrt 7 \)

Do đó \(AC = {{\sqrt {91}  + \sqrt 7 } \over 2} \approx 6,09(cm)\) và \(AB = {{\sqrt {91}  - \sqrt 7 } \over 2} \approx 3,45(cm)\)

Diện tích xung quanh lăng trụ là: \({S_{xq}} = 2ph = (6,09 + 3,45 + 7).5 = 82,7({m^2})\)

Diện tích toàn phần lăng trụ: \({S_{tp}} = {S_{xq}} + {S_{day}}.2 = 82,7 + 10,5.2 = 103,7({m^2})\)

• Hình b là lăng trụ đứng: đáy là tam giác vuông, chiều cao của lăng trụ là 18cm

∆ABC vuông tại B có \(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2}\) (định lí Py-ta-go)

\( \Rightarrow A{C^2} = {9^2} + {12^2} \Rightarrow AC = 15(cm)\)

Diện tích tam giác đáy là: \({S_d} = {1 \over 2}.9.12 = 54(c{m^2})\)

Thế tích lăng trụ: \(V = S.h = 54.18 = 972(c{m^3})\)

Diện tích xung quanh lăng trụ là: \({S_{xq}} = 2p.h = (15 + 9 + 12).18 = 648(c{m^2})\)

Diện tích toàn phần lăng trụ: \({S_{tp}} = {S_{xq}} + 2{S_d} = 648 + 54.2 = 756(c{m^2})\)

• Hình c là lăng trụ đứng: đáy là tam giác ABC cân ở A, chiều cao của lăng trụ là 20cm

∆ABC cân ở A có AH là đường cao (gt) => AH là đường trung tuyến

=> H là trung điểm của BC \( \Rightarrow BH = {{BC} \over 2} = {{12} \over 2} = 6(cm)\)

∆ABH vuông tại H có: \(A{B^2} = A{H^2} + B{H^2}\) (định lí Py-ta-go)

\( \Rightarrow A{B^2} = {8^2} + {6^2} = {10^2}\)

\(\Rightarrow AB = 10(cm) \Rightarrow AC = AB = 10(cm)\)

Diện tích tam giác đáy là: \({S_d} = {1 \over 2}.8.12 = 48(c{m^2})\)

Thế tích lăng trụ: \(V = S.h = 48.20 = 960(c{m^3})\)

Diện tích xung quanh lăng trụ là: \({S_{xq}} = 2p.h = (10 + 10 + 12).20 = 640(c{m^2})\)

Diện tích toàn phần lăng trụ: \({S_{tp}} = {S_{xq}} + 2{S_d} = 640 + 2.48 = 736({m^2})\)

• Hình d là lăng trụ đứng: đáy là tam giác DEF vuông tại E, chiều cao của lăng trụ là 7m

∆DEF vuông tại E có: \(D{F^2} = D{E^2} + E{F^2}\) (định lí Py-ta-go)

\( \Rightarrow D{F^2} = {3^2} + {5^2} \Rightarrow D{F^2} = 34 \)

\(\Rightarrow DF = \sqrt {34} (m)\)

Diện tích tam giác đáy là: \({S_d} = {1 \over 2}.3.5 = 7,5({m^2})\)

Thế tích lăng trụ: \(V = S.h = 7,5.7 = 52,5(c{m^3})\)

Diện tích xung quanh lăng trụ là: \({S_{xq}} = 2p.h = (3 + 5 + \sqrt {34} ).7 \)\(\,= 56 + 7\sqrt {34} ({m^2})\)

Diện tích toàn phần lăng trụ: \({S_{tp}} = {S_{xq}} + 2{S_d} = 56 + 7\sqrt {34}  + 7,5.2\)\(\, = 71 + 7\sqrt {34} ({m^2})\)