Bài tập 34 trang 124 Tài liệu dạy – học Toán 7 tập 2

Đề bài

Cho tam giác DEF cân tại D, kẻ trung tuyến EM. Trên tia đối của tia ME lấy điểm N sao cho

MN = ME.

a) Chứng minh DE = FN và tam giác DFN cân.

b) Trên tia đối của FD, lấy điểm A sao cho FA = FD. Chứng minh F là trọng tâm của tam giác NEA.

c) Chứng minh tam giác DNA vuông

d) Kẻ đường cao EB của tam giác AEN. Chứng minh ba điểm E, F, B thẳng hàng.

Lời giải chi tiết

a) Xét ∆DEM và ∆FNM

Ta có: DM = MF (M là trung điểm của DF)

\(\widehat {DME} = \widehat {NMF}\) (đối đỉnh)

EM = MN (gt)

Do đó: ∆DEM = ∆FNM (c.g.c) => DE = FN

Mà DE = DF (∆DEF cân tại D). Nên FN=DF

Do đó ∆DNF cân tại F.

b) Ta có \(MF = {1 \over 2}FD\) (M là trung điểm của DF) và FD = FA (gt)

\( \Rightarrow MF = {1 \over 2}FA \Rightarrow {{MF} \over {FA}} = {1 \over 2} \Rightarrow {{AM - FA} \over {FA}} = {1 \over 2} \Rightarrow {{AM} \over {FA}} - 1 = {1 \over 2} \Rightarrow {{AM} \over {FA}} = {3 \over 2} \Rightarrow AF = {2 \over 3}AM\)

∆EAN có AM là đường trung tuyến (EM = MN, \(M \in EN\))

F thuộc đoạn thẳng AM và \(AF = {2 \over 3}AM\)

Do đó F là trọng tâm của tam giác NEA.

c) Ta có FN = FA (= DF) => ∆FAN cân tại F \( \Rightarrow \widehat {FNA} = \widehat {FAN}\)

Mà \(\widehat {FND} = \widehat {FDN}\) (∆DNF cân tại F). Do đó \(\widehat {DNA} = \widehat {FND} + \widehat {FNA} = \widehat {FAN} + \widehat {FDN}\)

∆DNA có \(\widehat {DNA} + \widehat {FAN} + \widehat {FDN} = 180^\circ\)

Do đó \(\widehat {DNA} + \widehat {DNA} = 180^\circ  \Rightarrow 2\widehat {DNA} = 180^\circ  \Rightarrow \widehat {DNA} = 90^\circ\)

Vậy tam giác DNA vuông tại N.

d) Xét ∆DMN và ∆EMF ta có: DM = MF

              \(\widehat {NMD} = \widehat {EMF}\) (đối đỉnh)

               MN = EM (gt)

Do đó: ∆DMN = ∆FME (c.g.c) \( \Rightarrow \widehat {DNM} = \widehat {MEF}\)

Mà \(\widehat {DNM}\) và \(\widehat {MEF}\) ở vị trí so le trong. Nên DN // EF

Mặt khác \(DN \bot NA\) (∆DNA vuông tại N). Do đó \(EF \bot NA\)

Ta có: \(EF \bot NA\) và \(EB \bot NA\) (EB là đường cao của ∆AEN)

Do đó EF trùng với EB. Vậy E, F, B thẳng hàng.