Bài tập 5 trang 140 Tài liệu dạy – học Toán 8 tập 1

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có AH là đường cao. Vẽ \(HE \bot AB,HF \bot AC(E \in AB,F \in AC)\)

a) Chứng minh rằng AM = EF.

b) Gọi M là điểm đối xứng của H qua E. Chứng minh rằng tứ giác MAFE là hình bình hành.

c) Gọi D là trung điểm cùa HC, I là giao điểm của AH và EF. Chứng minh rằng BI vuông góc với AD.

d) Gọi N là điểm đối xứng của H qua F. Chứng minh rằng ba điểm M, A, N thẳng hàng.

Lời giải chi tiết

a) Tứ giác AEHF có:

\(\widehat {EAF} = {90^0}\,\,(\Delta ABC\) vuông tại A);

\(\widehat {AEH} = {90^0}\,\,(EH \bot AB\) tại E)

\(\widehat {AFH} = {90^0}\,\,(HF \bot AC\) tại F)

Do đó tứ giác AEHF là hình chữ nhật \( \Rightarrow AH \bot EF\).

b) Ta có \(AF = EH\) (AEHF là hình chữ nhật)

Và \(ME = EH\) (E là trung điểm của MH) \( \Rightarrow AF = ME\).

Mà AF // ME (AF // EH, \(M \in EH\)) nên AMEF là hình bình hành.

c) Hình chữ nhật AEHF có I là giao điểm của AH và EF (gt)

\( \Rightarrow \) I là trung điểm của AH.

Mà D là trung điểm của HC

\( \Rightarrow ID\) là đường trung bình của tam giác AHC \( \Rightarrow ID//AC\).

Mặt khác \(AC \bot AB\,\,(\Delta ABC\) vuông tại A).

Do đó \(ID \bot AB\).

Xét tam giác ABD có DI là đường cao \(\left( {DI \bot AB} \right)\), AH là đường cao \(\left( {AH \bot BD} \right)\)

Và DI và AH cắt nhau tại I (gt).

Do đó I là trực tâm của tam giác ABD

\( \Rightarrow BI\) là đường cao của tam giác ABD \( \Rightarrow BI \bot AD\).

d) Xét tam giác MHN có:

E là trung điểm của MH (M đối xứng với H qua E)

F là trung điểm của HN (N đối xứng với H qua F)

\( \Rightarrow EF\) là đường trung bình của tam giác MHN \( \Rightarrow EF//MN\).

Mà \(EF//MA\) (MAFE là hình bình hành)

Do đó MN, MA trùng nhau (tiên đề Ơ-clit).

Vậy M, A, N thẳng hàng.