Bài 5 trang 68 SGK Hình học 12

a) \({x^2} + {\rm{ }}{y^{2}} + {\rm{ }}{z^2}-{\rm{ }}8x{\rm{ }} - {\rm{ }}2y{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\);

Phương pháp giải:

Cách 1: Đưa phương trình về dạng phương trình chính tắc: \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\), suy ra tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\) và bán kính bằng \(R\).

Cách 2: Phương trình có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\,\,\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0} \right)\) là phương trình mặt cầu có tâm \(I\left( {-a;-b;-c} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \).

Lời giải chi tiết:

Cách 1: Ta có phương trình :

\(\begin{array}{l}
\quad {x^2} + {y^2} + {z^2} - 8x - 2y + 1 = 0\\
\Leftrightarrow {x^2} - 8x + {y^2} - 2y + {z^2} + 1 = 0\\
\Leftrightarrow {x^2} - 8x + 16 + {y^2} - 2y + 1 + {z^2} = 16\\
\Leftrightarrow {\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {z^2} = 16
\end{array}\)

\( \Leftrightarrow {\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}4} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)^2} + {\rm{ }}{z^2} = {\rm{ }}{4^2}\)

Đây là mặt cầu tâm \(I(4; 1; 0)\) và có bán kính \(r = 4\).

Cách 2: Ta có: 

\(\begin{array}{l}
2a = - 8;\;2b = - 2;\;2c = 0;\;d = 1\\
\Rightarrow a = - 4;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b = - 1;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} c = 0;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} d = 1\\
{R^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} - d = {\left( { - 4} \right)^2} + {\left( { - 1} \right)^2} + 0 - 1 = 16
\end{array}\)

 do đó đây là phương trình mặt cầu tâm \(I\left( {4;1;0} \right)\), bán kính \(R=4\).

b) \(3{x^2} + {\rm{ }}3{y^2} + {\rm{ }}3{z^2}-{\rm{ }}6x{\rm{ }} + {\rm{ }}8y{\rm{ }} + {\rm{ }}15z{\rm{ }}-{\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

Lời giải chi tiết:

Cách 1: 

Ta có phương trình:

\(\begin{array}{l}
\quad 3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} - 6x + 8y + 15z - 3 = 0\\
\Leftrightarrow 3{x^2} - 6x + 3{y^2} + 8y + 3{z^2} + 15z - 3 = 0\\
\Leftrightarrow {x^2} - 2x + {y^2} + \frac{8}{3}y + {z^2} + 5z - 1 = 0\\
\Leftrightarrow \left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + \left[ {{y^2} + 2.\frac{4}{3}y + {{\left( {\frac{4}{3}} \right)}^2}} \right] \\+ \left[ {{z^2} + 2.\frac{5}{2}z + {{\left( {\frac{5}{2}} \right)}^2}} \right] - 1 - 1 - {\left( {\frac{4}{3}} \right)^2} - {\left( {\frac{5}{2}} \right)^2} = 0\\
\Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + \frac{4}{3}} \right)^2} + {\left( {z + \frac{5}{2}} \right)^2} - \frac{{361}}{{36}} = 0\\
\Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + \frac{4}{3}} \right)^2} + {\left( {z + \frac{5}{2}} \right)^2} = {\left( {\frac{{19}}{6}} \right)^2}
\end{array}\)

Đây là mặt cầu tâm \(J(1; -\dfrac{4}{3};-\dfrac{5}{2})\) và có bán kính là \(R = \dfrac{19}{6}\).

Cách 2: 

Xét phương trình \(3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} - 6x + 8y + 15z - 3 = 0\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + \frac{8}{3}y + 5z - 1 = 0}\\
{{\rm{Ta \, có : }}2a = - 2;\;2b = \frac{8}{3};\;2c = 5;\;d = - 1}\\
{ \Rightarrow a = - 1;b = \frac{4}{3};c = \frac{5}{2};d = - 1}\\
{{R^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} - d = {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( {\frac{4}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{5}{2}} \right)}^2} + 1 = \frac{{361}}{{36}} = {{\left( {\frac{{19}}{6}} \right)}^2}}
\end{array}\)

do đó đây là phương trình mặt cầu tâm \(J\left( {1; - \dfrac{4}{3}; - \dfrac{5}{2}} \right)\), bán kính \(R = \dfrac{{19}}{6}\).