Bài 6 trang 90 SGK Hình học 12

Đề bài

Tính khoảng cách giữa đường thẳng: \(\Delta :\left\{ \matrix{x = - 3 + 2t \hfill \cr y = - 1 + 3t \hfill \cr z = - 1 + 2t \hfill \cr} \right.\)

\( \text {với mặt phẳng} \, (α) : 2x - 2y + z + 3 = 0\).

Lời giải chi tiết

Đường thẳng \(\displaystyle ∆\) qua điểm \(\displaystyle M(-3 ; -1 ; -1)\) có vectơ chỉ phương  \(\displaystyle \overrightarrow u (2 ; 3 ; 2)\).

Mặt phẳng \(\displaystyle (α)\) có vectơ pháp tuyến \(\displaystyle \overrightarrow n (2 ; -2 ; 1)\).

Ta có \(\displaystyle M ∉ (α)\) và \(\displaystyle \overrightarrow u .\overrightarrow n = 0\) nên \(\displaystyle ∆ // (α)\).

Do vậy  \(\displaystyle d(∆,(α)) = d(M,(α))\)

= \(\displaystyle {{| - 6 + 2 - 1 + 3|} \over {\sqrt {4 + 4 + 1} }} = {2 \over 3}\).

Cách khác:

Có thể chứng minh \(\displaystyle d \,//\left( \alpha  \right)\) bằng cách:

Xét phương trình:

\(2(-3 + 2t) – 2(-1 + 3t) + (-1 + 2t) + 3 = 0 \\ ⇔ 0t \, \,– 2 = 0 \)

Phương trình vô nghiệm

\(⇒ (Δ) // (α)\).