Bài 8 trang 91 SGK Hình học 12

LG a

a) Tìm tọa độ điểm \(H\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(M\) trên mặt phẳng \((α)\) ;

Phương pháp giải:

Phương pháp tìm hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng (P).

Bước 1: Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và vuông góc với (P).

Bước 2: Gọi \(H = d \cap \left( P \right)\), tìm tọa độ điểm H. H chính là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (P).

Lời giải chi tiết:

Xét đường thẳng \(d\) qua \(M\) và \(d ⊥ (α)\).

Vectơ \(\overrightarrow{n}(1 ; 1 ; 1)\) là vectơ pháp tuyến của \((α)\) nên \(\overrightarrow{n}\) là vectơ chỉ phương của \(d\).

Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) có dạng: \(\left\{\begin{matrix} x=1+t & \\ y=4+t & \\ z=2+t & \end{matrix}\right.\).

Gọi \(H = d \cap \left( P \right)\), \(H \in d \Rightarrow H\left( {1 + t;4 + t;2 + t} \right)\), vì \(H \in \alpha\) nên ta có:

\(1 + t + 4 + t + 2 + t - 1 = 0 \Leftrightarrow 3t + 6 = 0\)

\(\Leftrightarrow t =  - 2 \Rightarrow H\left( { - 1;2;0} \right)\)

LG b

b) Tìm tọa độ điểm \(M'\) đối xứng với \(M\) qua mặt phẳng \((α)\).

Phương pháp giải:

Điểm M' đối xứng với M qua mặt phẳng (P) nhận H làm trung điểm, với H là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (P). Tìm tọa độ điểm M'.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(M'(x ; y ; z)\) là điểm đối xứng của \(M\) qua mặt phẳng \((α)\), thì hình chiếu vuông góc \(H\) của \(M\) xuống \((α)\) chính là trung điểm của \(MM'\).

Ta có: 

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} = 2{x_H} - {x_M} = 2.\left( { - 1} \right) - 1 = - 3\\{y_{M'}} = 2{y_H} - {y_M} = 2.2 - 4 = 0\\{z_{M'}} = 2{z_H} - {z_M} = 2.0 - 2 = - 2\end{array} \right.\) \( \Rightarrow M'\left( { - 3;0; - 2} \right)\)

LG c

c) Tính khoảng cách từ điểm \(M\) đến mặt phẳng \((α)\).

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính khoảng cách từ 1 điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,Ax + By + Cz + D = 0\): \(d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\)

Lời giải chi tiết:

Tính khoảng cách từ điểm \(M\) đến mặt phẳng \((α)\) 

Cách 1: \(d(M,(\alpha ))=\dfrac{|1+4+2-1|}{\sqrt{1+1+1}}=\dfrac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}\)

Cách 2: Khoảng cách từ M đến (α) chính là khoảng cách MH: \(d(M,(α) )= MH\) = \(\sqrt{2^{2}+2^{2}+2^{2}}=2\sqrt{3}\).