Bài 9 trang 91 SGK Hình học 12

Đề bài

Cho hai đường thẳng: \(d\): \(\left\{\begin{matrix} x=1-t  \\ y=2+2t  \\ z=3t \end{matrix}\right.\) và \(d'\): \(\left\{\begin{matrix} x=1+t'  \\ y=3-2t'  \\ z=1 \end{matrix}\right.\).

Chứng minh \(d\) và \(d'\) chéo nhau.

Lời giải chi tiết

Đường thẳng \(d\) qua điểm \(M(1 ; 2 ; 0)\) và có vec tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}(-1 ; 2 ; 3)\).

Đường thẳng \(d'\) qua điểm \(M'(1 ; 3 ;1)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u'}(1 ; -2 ; 0)\).

Dễ thấy \({\overrightarrow u ;\overrightarrow {u'} }\) không cùng phương, do đó d và d' hoặc cắt nhau, hoặc chéo nhau.

Xét \(\left [\overrightarrow{u},\overrightarrow{u'} \right ]\) \(=\left (\begin{vmatrix} 2 & 3\\ -2&0 \end{vmatrix};\begin{vmatrix} 3 &-1 \\ 0&1 \end{vmatrix};\begin{vmatrix} -1 & 2\\ 1& -2 \end{vmatrix} \right ) \) \(= (6 ; 3 ;0)\)

\(\overrightarrow{MM'} = (0 ; 1 ; 1)\).

Ta có : \(\left [\overrightarrow{u},\overrightarrow{u'} \right ].\overrightarrow{MM'}\) \(= 6.0 + 3.1 + 0.1 = 3≠ 0\)

Vậy \(d\) và \(d'\) chéo nhau.

Cách khác:

Có hai VTCP của hai đường thẳng không cùng phương (cmt)

Xét hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}1 - t = 1 + t'\\2 + 2t = 3 - 2t'\\3t = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t + t' = 0\\2t + 2t' = 1\\t = \dfrac{1}{3}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t + t' = 0\\t + t' = \dfrac{1}{2}\\t = \dfrac{1}{3}\end{array} \right.\left( {VN} \right)\)

Vậy hai đường thẳng chéo nhau.