Các dạng toán về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Dạng 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số. 

Phương pháp:

- Bước 1: Tìm TXĐ của hàm số.

- Bước 2: Tính đạo hàm \(f'\left( x \right)\), tìm các điểm \({x_1},{x_2},...,{x_n}\) mà tại đó đạo hàm bằng \(0\) hoặc không xác định.

- Bước 3: Xét dấu đạo hàm và nêu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

+ Các khoảng mà \(f'\left( x \right) > 0\) là các khoảng đồng biến của hàm số.

+ Các khoảng mà \(f'\left( x \right) < 0\) là các khoảng nghịch biến của hàm số.

Ví dụ 1: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số $y = 2{x^4} + 1$.

Ta có $y' = 8{x^3},y' > 0 \Leftrightarrow x > 0$ nên hàm số đã cho đồng biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$

\(y' < 0 \Leftrightarrow x < 0\) nên hàm số đã cho nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\)

Một số trường hợp đặc biệt:

Dạng 2: Tìm giá trị của m để hàm số đơn điệu trên R.

Phương pháp:

- Bước 1: Tính $f'\left( x \right)$.

- Bước 2: Nêu điều kiện của bài toán:

+ Hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên $R \Leftrightarrow y' = f'\left( x \right) \geqslant 0,\forall x \in R$ và $y' = 0$ tại hữu hạn điểm.

+ Hàm số $y = f\left( x \right)$ nghịch biến trên $R \Leftrightarrow y' = f'\left( x \right) \leqslant 0,\forall x \in R$ và $y' = 0$ tại hữu hạn điểm.

- Bước 3: Từ điều kiện trên sử dụng các kiến thức về dấu của nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai để tìm $m$.

Ví dụ 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) sao cho hàm số \(y = \dfrac{1}{3}{x^3} - \left( {m + 1} \right){x^2} - \left( {2m + 3} \right)x + 2017\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\). 

Giải: Hàm số đã cho đồng biến trên \(\mathbb{R}\) \( \Leftrightarrow y' = {x^2} - 2(m + 1)x - (2m + 3) \ge 0\) \({\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}.\)

\( \Leftrightarrow \Delta ' = {(m + 1)^2} + (2m + 3) \le 0 \) \(\Leftrightarrow {m^2} + 4m + 4 \le 0 \Leftrightarrow m =  - 2\)

Cho hàm số $f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)$. Khi đó:

$\begin{gathered}f\left( x \right) \geqslant 0,\forall x \in R \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}a > 0 \hfill \\\Delta  \leqslant 0 \hfill \\ \end{gathered}  \right. \hfill \\f\left( x \right) \leqslant 0,\forall x \in R \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}a < 0 \hfill \\\Delta  \leqslant 0 \hfill \\\end{gathered}  \right. \hfill \\ \end{gathered} $

Dạng 3: Tìm m để hàm số đơn điệu trên miền D cho trước.

Phương pháp:

- Bước 1: Nêu điều kiện để hàm số đơn điệu trên D:

+ Hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên $D \Leftrightarrow y' = f'\left( x \right) \geqslant 0, \forall x \in D$.

+ Hàm số $y = f\left( x \right)$ nghịch biến trên $D \Leftrightarrow y' = f'\left( x \right) \leqslant 0, \forall x \in D$.

- Bước 2: Từ điều kiện trên sử dụng các cách suy luận khác nhau cho từng bài toán để tìm $m$.

Dưới đây là một trong những cách hay được sử dụng:

- Rút $m$ theo $x$ sẽ xảy ra một trong hai trường hợp: $m \geqslant g\left( x \right),\forall x \in D$ hoặc $m \leqslant g\left( x \right),\forall x \in D$.

- Khảo sát tính đơn điệu của hàm số $y = g\left( x \right)$ trên $D$.

- Kết luận: $\begin{gathered}m \geqslant g\left( x \right),\forall x \in D \Rightarrow m \geqslant \mathop {\max }\limits_D g\left( x \right) \hfill \\m \leqslant g\left( x \right),\forall x \in D \Rightarrow m \leqslant \mathop {\min }\limits_D g\left( x \right) \hfill \\ \end{gathered} $

- Bước 3: Kết luận.

Dạng 4: Tìm m để hàm số \(y = \dfrac{{ax + b}}{{cx + d}}\) đồng biến, nghịch biến trên khoảng \(\left( {\alpha ;\beta } \right)\)

- Bước 1: Tính \(y'\).

- Bước 2: Nêu điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến:

+ Hàm số đồng biến trên \(\left( {\alpha ;\beta } \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y' = f'\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( {\alpha ;\beta } \right)\\ - \dfrac{d}{c} \notin \left( {\alpha ;\beta } \right)\end{array} \right.\)

+ Hàm số nghịch biến trên \(\left( {\alpha ;\beta } \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y' = f'\left( x \right) < 0,\forall x \in \left( {\alpha ;\beta } \right)\\ - \dfrac{d}{c} \notin \left( {\alpha ;\beta } \right)\end{array} \right.\)

- Bước 3: Kết luận.