Bài 12 trang 47 SGK Giải tích 12

Cho hàm số: $y=\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{2}{x}^2-4x+6$

a) Giải phương trình $\displaystyle f’(\sin x) = 0$

Phương pháp giải:

+) Tính đạo hàm $f'(x)$ và $f''(x).$

+) Thay $\sin x$ vào giải phương trình $f'(\sin x) =0$.

Lời giải chi tiết:

$\displaystyle f(x) = {1 \over 3}{x^3} - {1 \over 2}{x^2} - 4x + 6$

$\displaystyle \Rightarrow f’(x) = x^2– x – 4$

$\displaystyle \Rightarrow  f’’(x) = 2x – 1$

a) Ta có:

$\displaystyle \eqalign{
& f'(s{\rm{inx}}) = 0 \Leftrightarrow {\sin ^2}x - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in x}} - 4 = 0 \cr 
& \Leftrightarrow {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in x = }}{{1 \pm \sqrt {17} } \over 2}(1) \cr 
& Do{{1 - \sqrt {17} } \over 2} < - 1,{{1 + \sqrt {17} } \over 2} > 1 \cr} $

Suy ra (1) vô nghiệm.

Cách 2: Đặt $t=\sin x$,$ - 1 \le t \le 1$

Ta có:

$\displaystyle \eqalign{
& f'(t) = 0 \Leftrightarrow t^2 - t - 4 = 0 \cr 
& \Leftrightarrow t= {{1 \pm \sqrt {17} } \over 2}(1) \cr 
& Do{{1 - \sqrt {17} } \over 2} < - 1,{{1 + \sqrt {17} } \over 2} > 1 \cr} $

Suy ra $\displaystyle f’(\sin x) = 0$ vô nghiệm.

b) Giải phương trình $\displaystyle f’’(cos x) = 0$

Phương pháp giải:

Thay $\cos x$ vào giải phương trình $f''(\cos x) =0$.

Lời giải chi tiết:

Ta có: 

$\displaystyle \eqalign{
& f''(\cos x) = 0 \Leftrightarrow 2\cos x - 1 = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \cos x = {1 \over 2} = \cos {\pi \over 3} \cr 
& \Leftrightarrow x = \pm {\pi \over 3} + k2\pi ,k \in\mathbb Z \cr} $

c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình $\displaystyle f’’(x) = 0$.

Phương pháp giải:

Giải phương trình $f''(x)=0$ để tìm nghiệm $x_0.$

+) Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số theo công thức: $y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + y\left( {{x_0}} \right).$

Lời giải chi tiết:

$f''\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2}$

Ta có:

$\displaystyle \eqalign{
& f'({1 \over 2}) = {1 \over 4} - {1 \over 2} - 4 = {{ - 17} \over 4} \cr 
&  f({1 \over 2}) = {1 \over 3}.{1 \over 8} - {1 \over 2}.{1 \over 4} - 4.{1 \over 2} + 6 = {{47} \over {12}} \cr} $

Phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng:

$\displaystyle y = {{ - 17} \over 4}(x - {1 \over 2}) + {{47} \over {12}} $ $\displaystyle  \Leftrightarrow y =  - {{17} \over 4}x + {{145} \over {24}}$.