Bài 1.23 trang 10 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

$\sin \left( {2x + {\pi  \over 6}} \right) = {2 \over 5}$ trong khoảng $\left( { - {\pi  \over 3};{\pi  \over 6}} \right)$

Lời giải chi tiết:

Đặt $y = 2x + {\pi  \over 6}$ thì:

$ - {\pi  \over 3} < x < {\pi  \over 6} $$\Leftrightarrow  - {\pi  \over 2} < y < {\pi  \over 2}$

Ta có phương trình (với ẩn y) $\sin y = {2 \over 5}$ (1)

Với $ - {\pi  \over 2} < y < {\pi  \over 2},$ phương trình (1) có một nghiệm suy nhất là $y = \arcsin {2 \over 5}.$

Vậy với $ - {\pi  \over 3} < x < {\pi  \over 6},$ phương trình đã cho tương đương với phương trình $2x + {\pi  \over 6} = \arcsin {2 \over 5}$

Do đó nó cũng có một nghiệm duy nhất là $x = {1 \over 2}\left( {\arcsin {2 \over 5} - {\pi  \over 6}} \right)$

Lấy giá trị gần đúng $\arcsin {2 \over 5} \approx 0,412$ và ${\pi  \over 6} \approx 0,524,$ ta được $x \approx  - 0,06.$

(Chú ý: Muốn tính gần đúng kết quả cuối cùng chính xác đến hàng phần trăm thì trong kết quả trung gian phải tính chính xác đến hàng phần nghìn).

$\cos {x \over 2} = {{\sqrt 2 } \over 3}$ trong khoảng $\left( {2\pi ;4\pi } \right)$

Lời giải chi tiết:

Đặt $y = {x \over 2}$ thì:

$2\pi  < x < 4\pi  \Leftrightarrow \pi  < y < 2\pi $

Ta có phương trình $\cos y = {{\sqrt 2 } \over 3}.$

Do $0 < {{\sqrt 2 } \over 3} < 1$ nên phương trình $\cos y = {{\sqrt 2 } \over 3}$ có duy nhất một nghiệm $y = \alpha $ thuộc khoảng $\left( {\pi ;2\pi } \right)$ (có thể thấy rõ điều này trên đường tròn lượng giác).

Vậy trong khoảng $\left( {2\pi ;4\pi } \right),$ phương trình đã cho tương đương với phương trình ${x \over 2} = \alpha ,$

Do đó có một nghiệm duy nhất $x = 2\alpha .$

Để tính giá trị gần đúng của $\alpha ,$ ta làm như sau:

Dùng bảng số hoặc máy tính bỏ túi, ta tìm được số $\beta $ thỏa mãn $0 < \beta  < \pi $ và $\cos \beta  = {{\sqrt 2 } \over 3}$.

(Cụ thể $\beta  = \arccos {{\sqrt 2 } \over 3} \approx 1,080$).

Khi đó, dễ thấy $2\pi  - \beta $ thỏa mãn $\pi  < 2\pi  - \beta  < 2\pi $ và $\cos \left( {\pi  - \beta } \right) = \cos \beta  = {{\sqrt 2 } \over 3},$ nghĩa là $\alpha  = 2\pi  - \beta .$

Vì $\beta  \approx 1,080$ nên giá trị gần đúng nghiệm của phương trình đã cho là $x = 2\alpha  \approx 10,41.$

$\tan {{3x - \pi } \over 5} =  - 3$ với $ - {\pi  \over 2} < x < {{7\pi } \over 6}$

Lời giải chi tiết:

Đặt $y = {{3x - \pi } \over 5}.$

Khi đó $ - {\pi  \over 2} < y < {\pi  \over 2}$ và phương trình đã cho có dạng $\tan y =  - 3.$

Với điều kiện $ - {\pi  \over 2} < y < {\pi  \over 2}$, phương trình này có một nghiệm duy nhất $y = \arctan \left( { - 3} \right).$

Vì vậy ${{3x - \pi } \over 5} = \arctan \left( { - 3} \right)$ $ \Leftrightarrow x = {1 \over 3}\left( {5\arctan \left( { - 3} \right) + \pi } \right)$

Nên $x = {1 \over 3}\left( {5\arctan \left( { - 3} \right) + \pi } \right)$ cũng là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho thỏa mãn điều kiện $ - {\pi  \over 2} < y < {{7\pi } \over 6}$

Lấy giá trị gần đúng $\arctan \left( { - 3} \right) \approx  - 1,249$ , ta được $x \approx  - 1,03$