Bài 1.25 trang 11 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

$3{\sin ^2}2x + 7\cos 2x - 3 = 0$ 

Phương pháp giải:

Hướng dẫn: Biến đổi phương trình đã cho thành $3\left( {1 - {{\cos }^2}2x} \right) + 7\cos 2x - 3 = 0$

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}
3{\sin ^2}2x + 7\cos 2x - 3 = 0\\
\Leftrightarrow 3\left( {1 - {{\cos }^2}2x} \right) + 7\cos 2x - 3 = 0\\
\Leftrightarrow - 3{\cos ^2}2x + 7\cos 2x = 0\\
\Leftrightarrow \cos 2x\left( { - 3\cos 2x + 7} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos 2x = 0\\
- 3\cos 2x + 7 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos 2x = 0\\
\cos 2x = \frac{7}{3}\left( {VN} \right)
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\
\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}
\end{array}$

Vậy $x = {\pi  \over 4} + {{k\pi } \over 2}$

$6{\cos ^2}x + 5\sin x - 7 = 0$

Phương pháp giải:

Hướng dẫn: Biến đổi phương trình đã cho thành $6\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right) + 5\sin x - 7 = 0$

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}
6{\cos ^2}x + 5\sin x - 7 = 0\\
\Leftrightarrow 6\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right) + 5\sin x - 7 = 0\\
\Leftrightarrow - 6{\sin ^2}x + 5\sin x - 1 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin x = \frac{1}{2}\\
\sin x = \frac{1}{3}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\
x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \\
x = \arcsin \frac{1}{3} + k2\pi \\
x = \pi - \arcsin \frac{1}{3} + k2\pi
\end{array} \right.
\end{array}$

Vậy $x = {\pi  \over 6} + k2\pi ,x = {{5\pi } \over 6} + k2\pi ,$ $x =\arcsin \frac{1}{3}  + k2\pi ,$ $x = \pi  - \arcsin \frac{1}{3}  + k2\pi$.

$\cos 2x - 5\sin x - 3 = 0$ 

Phương pháp giải:

Hướng dẫn: Sử dụng công thức $\cos 2x = 1 - 2{\sin ^2}x$

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}
\cos 2x - 5\sin x - 3 = 0\\
\Leftrightarrow 1 - 2{\sin ^2}x - 5\sin x - 3 = 0\\
\Leftrightarrow 2{\sin ^2}x + 5\sin x + 2 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin x = - \frac{1}{2}\\
\sin x = - 2\left( {VN} \right)
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\
x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi
\end{array} \right.
\end{array}$

Vậy $x =  - {\pi  \over 6} + k2\pi ,x =  {7\pi  \over 6} + k2\pi $

$\cos 2x + \cos x + 1 = 0$

Phương pháp giải:

Hướng dẫn: Sử dụng công thức $\cos 2x =  2{\cos ^2}x-1$

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}
\cos 2x + \cos x + 1 = 0\\
\Leftrightarrow 2{\cos ^2}x - 1 + \cos x + 1 = 0\\
\Leftrightarrow 2{\cos ^2}x + \cos x = 0\\
\Leftrightarrow \cos x\left( {2\cos x + 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos x = 0\\
2\cos x + 1 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos x = 0\\
\cos x = - \frac{1}{2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\
x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi
\end{array} \right.
\end{array}$

Vậy $x = {\pi  \over 2} + k\pi ,x =  \pm {{2\pi } \over 3} + k2\pi $

$6{\sin ^2}3x + \cos 12x = 14$ 

Lời giải chi tiết:

Ta có $2{\sin ^2}3x = 1 - \cos 6x$ và $\cos 12x = 2{\cos ^2}6x - 1.$ Do đó

$\eqalign{
& 6{\sin ^2}3x - 3\cos 12x = 14 \cr&\Leftrightarrow 3\left( {1 - \cos 6x} \right) + 2{\cos ^2}6x - 1 = 14 \cr 
& \Leftrightarrow 2{\cos ^2}6x - 3\cos 6x - 12 = 0 \cr&\Leftrightarrow \cos 6x = {{3 \pm \sqrt {105} } \over 4} \cr} $

Dễ thấy $\left| {{{3 \pm \sqrt {105} } \over {4}}} \right| > 1$ nên các phương trình này vô nghiệm

Suy ra phương trình đã cho vô nghiệm.

$4{\sin ^4}x + 12{\cos ^2}x = 7$

Phương pháp giải:

Hướng dẫn: Sử dụng công thức ${\sin ^4}x = {\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right)^2}$ để đưa phương trình đã cho về dạng phương trình trùng phương đối với $\cos x$

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}
4{\sin ^4}x + 12{\cos ^2}x = 7\\
\Leftrightarrow 4{\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right)^2} + 12{\cos ^2}x - 7 = 0\\
\Leftrightarrow 4\left( {{{\cos }^4}x - 2{{\cos }^2}x + 1} \right) + 12{\cos ^2}x - 7 = 0\\
\Leftrightarrow 4{\cos ^4}x + 4{\cos ^2}x - 3 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{\cos ^2}x = \frac{1}{2}\\
{\cos ^2}x = - \frac{3}{2}\left( {VN} \right)
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow {\cos ^2}x = \frac{1}{2}\\
\Leftrightarrow \frac{{1 + \cos 2x}}{2} = \frac{1}{2}\\
\Leftrightarrow 1 + \cos 2x = 1\\
\Leftrightarrow \cos 2x = 0\\
\Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\
\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}
\end{array}$

Vậy $x = {\pi  \over 4} + {{k\pi } \over 2}$.