LG a
Từ khẳng định (khi x thay đổi, hàm số $y = \sin x$ nhận mọi giá trị tùy ý thuộc đoạn $\left[ { - 1;1} \right]$”, hãy chứng minh rằng: khi x thay đổi, hàm số $y = a\sin x + b\cos x$ (a, b là hằng số, ${a^2} + {b^2} \ne 0$) lấy mọi giá trị tùy ý thuộc đoạn $\left[ { - \sqrt {{a^2} + {b^2}} ;\sqrt {{a^2} + {b^2}} } \right]$
Lời giải chi tiết:
Ta có $a\sin x + b\cos x = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \sin \left( {x + \alpha } \right)$
$\begin{array}{l}
- 1 \le \sin \left( {x + \alpha } \right) \le 1\\
\Rightarrow - \sqrt {{a^2} + {b^2}} \le \sqrt {{a^2} + {b^2}} \sin \left( {x + \alpha } \right) \le \sqrt {{a^2} + {b^2}} \\
\Rightarrow - \sqrt {{a^2} + {b^2}} \le y \le \sqrt {{a^2} + {b^2}}
\end{array}$
Vậy hàm số y nhận mọi giá trị tùy ý thuộc đoạn $\left[ { - \sqrt {{a^2} + {b^2}} ;\sqrt {{a^2} + {b^2}} } \right]$
LG b
Xét hàm số $y = {{\sin x + \cos x - 1} \over {\sin x - \cos x + 3}}$.
Viết đẳng thức đó thành
$\left( {y - 1} \right)\sin x - \left( {y + 1} \right)\cos x = - 3y - 1$
để suy ra rằng khi x thay đổi, hàm số trên lấy mọi giá trị y tùy ý thỏa mãn điều kiện.
${\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} \ge {\left( {3y + 1} \right)^2}$
Từ đó hãy tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho.
Lời giải chi tiết:
Do $\left| {\sin x - \cos x} \right| \le \sqrt 2 $ nên $\sin x - \cos x + 3 \ne 0$ với mọi x.
Khi đó:
$\begin{array}{l}
y = \frac{{\sin x + \cos x - 1}}{{\sin x - \cos x + 3}}\\
\Leftrightarrow y\sin x - y\cos x + 3y = \sin x + \cos x - 1\\
\Leftrightarrow \left( {y - 1} \right)\sin x - \left( {y + 1} \right)\cos x = - \left( {3y + 1} \right)
\end{array}$
Với mọi giá trị y cho trước, biểu thức ở vế trái của đẳng thức này lấy mọi giá trị tùy ý thuộc đoạn $\left[ { - \sqrt {{{\left( {y - 1} \right)}^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} ;\sqrt {{{\left( {y - 1} \right)}^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} } \right].$ Đẳng thức trên cho thấy $ - \left( {3y + 1} \right)$ phải thuộc đoạn đó, tức là:
${\left( {3y + 1} \right)^2} \le {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2}$
Vậy với mọi y thỏa mãn điều kiện này, tồn tại x để
$\left( {y - 1} \right)\sin x - \left( {y + 1} \right)\cos x = - \left( {3y + 1} \right)$
Để ý rằng bất đẳng thức trên tương đương với
$7{y^2} + 6y - 1 \le 0$ tức là $ - 1 \le y \le {1 \over 7}$
Từ đó suy ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y theo thứ tự là ${1 \over 7}$ và -1.
LG c
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $y = {{\cos x + 2\sin x + 3} \over {2\cos x - \sin x + 4}}$
Lời giải chi tiết:
$y = {{\cos x + 2\sin x + 3} \over {2\cos x - \sin x + 4}}$
Ta có: $\left| {2\cos x - \sin x} \right| \le \sqrt 5 ,$ nên $2\cos x - \sin x + 4 \ne 0$ với mọi x.
Khi đó,
$\begin{array}{l}
y = \frac{{\cos x + 2\sin x + 3}}{{2\cos x - \sin x + 4}}\\
\Leftrightarrow \cos x + 2\sin x + 3 = 2y\cos x - y\sin x + 4y\\
\Leftrightarrow \left( {y + 2} \right)\sin x + \left( {1 - 2y} \right)\cos x = 4y - 3
\end{array}$
Để tồn tại cặp số (x;y) thì:
${\left( {4y - 3} \right)^2} \le {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {1 - 2y} \right)^2}$
Bất đẳng thức tương đương với $11{y^2} - 24y + 4 \le 0$ tức là ${2 \over {11}} \le y \le 2$
Vậy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y theo thứ tự là 2 và ${2 \over {11}}$
Unit 5: Challenges
CHƯƠNG V - CẢM ỨNG ĐIỆN TỪ
Unit 3: Cities of the future
Unit 3: Social issues
Bài 6. Tiết 2: Kinh tế Hoa Kì - Tập bản đồ Địa lí 11
SGK Toán Lớp 11
SGK Toán Nâng cao Lớp 11
SBT Toán Lớp 11
SGK Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SGK Toán 11 - Cánh Diều
SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Chuyên đề học tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Chuyên đề học tập Toán 11 - Cánh Diều
Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo
SBT Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SBT Toán 11 - Cánh Diều
SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Tổng hợp Lí thuyết Toán 11
Bài giảng ôn luyện kiến thức môn Toán lớp 11