Bài 1.31 trang 12 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Từ khẳng định (khi x thay đổi, hàm số $y = \sin x$ nhận mọi giá trị tùy ý thuộc đoạn $\left[ { - 1;1} \right]$”, hãy chứng minh rằng: khi x thay đổi, hàm số  $y = a\sin x + b\cos x$ (a, b là hằng số, ${a^2} + {b^2} \ne 0$) lấy mọi giá trị tùy ý thuộc đoạn $\left[ { - \sqrt {{a^2} + {b^2}} ;\sqrt {{a^2} + {b^2}} } \right]$

Lời giải chi tiết:

Ta có $a\sin x + b\cos x = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \sin \left( {x + \alpha } \right)$

$\begin{array}{l}
- 1 \le \sin \left( {x + \alpha } \right) \le 1\\
\Rightarrow - \sqrt {{a^2} + {b^2}} \le \sqrt {{a^2} + {b^2}} \sin \left( {x + \alpha } \right) \le \sqrt {{a^2} + {b^2}} \\
\Rightarrow - \sqrt {{a^2} + {b^2}} \le y \le \sqrt {{a^2} + {b^2}}
\end{array}$

Vậy hàm số y nhận mọi giá trị tùy ý thuộc đoạn $\left[ { - \sqrt {{a^2} + {b^2}} ;\sqrt {{a^2} + {b^2}} } \right]$

Xét hàm số $y = {{\sin x + \cos x - 1} \over {\sin x - \cos x + 3}}$.

Viết đẳng thức đó thành

$\left( {y - 1} \right)\sin x - \left( {y + 1} \right)\cos x =  - 3y - 1$

để suy ra rằng khi x thay đổi, hàm số trên lấy mọi giá trị y tùy ý thỏa mãn điều kiện.

${\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} \ge {\left( {3y + 1} \right)^2}$

Từ đó hãy tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho.

Lời giải chi tiết:

Do $\left| {\sin x - \cos x} \right| \le \sqrt 2 $ nên $\sin x - \cos x + 3 \ne 0$ với mọi x.

Khi đó:

$\begin{array}{l}
y = \frac{{\sin x + \cos x - 1}}{{\sin x - \cos x + 3}}\\
\Leftrightarrow y\sin x - y\cos x + 3y = \sin x + \cos x - 1\\
\Leftrightarrow \left( {y - 1} \right)\sin x - \left( {y + 1} \right)\cos x = - \left( {3y + 1} \right)
\end{array}$

Với mọi giá trị y cho trước, biểu thức ở vế trái của đẳng thức này lấy mọi giá trị tùy ý thuộc đoạn $\left[ { - \sqrt {{{\left( {y - 1} \right)}^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} ;\sqrt {{{\left( {y - 1} \right)}^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} } \right].$ Đẳng thức trên cho thấy $ - \left( {3y + 1} \right)$ phải thuộc đoạn đó, tức là:

${\left( {3y + 1} \right)^2} \le {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2}$

Vậy với mọi y thỏa mãn điều kiện này, tồn tại x để

$\left( {y - 1} \right)\sin x - \left( {y + 1} \right)\cos x =  - \left( {3y + 1} \right)$

Để ý rằng bất đẳng thức trên tương đương với

$7{y^2} + 6y - 1 \le 0$ tức là $ - 1 \le y \le {1 \over 7}$

Từ đó suy ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y theo thứ tự là ${1 \over 7}$ và -1.

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $y = {{\cos x + 2\sin x + 3} \over {2\cos x - \sin x + 4}}$

Lời giải chi tiết:

$y = {{\cos x + 2\sin x + 3} \over {2\cos x - \sin x + 4}}$

Ta có: $\left| {2\cos x - \sin x} \right| \le \sqrt 5 ,$ nên $2\cos x - \sin x + 4 \ne 0$ với mọi x.

Khi đó,

$\begin{array}{l}
y = \frac{{\cos x + 2\sin x + 3}}{{2\cos x - \sin x + 4}}\\
\Leftrightarrow \cos x + 2\sin x + 3 = 2y\cos x - y\sin x + 4y\\
\Leftrightarrow \left( {y + 2} \right)\sin x + \left( {1 - 2y} \right)\cos x = 4y - 3
\end{array}$

Để tồn tại cặp số (x;y) thì:

${\left( {4y - 3} \right)^2} \le {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {1 - 2y} \right)^2}$

Bất đẳng thức tương đương với $11{y^2} - 24y + 4 \le 0$ tức là ${2 \over {11}} \le y \le 2$

Vậy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y theo thứ tự là 2 và ${2 \over {11}}$