Câu 14 trang 115 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho tứ diện ABCD. Lấy các điểm M, N, P. Q lần lượt thuộc AB, BC, CD, DA sao cho

\(\overrightarrow {AM}  = {1 \over 3}\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BN}  = {2 \over 3}\overrightarrow {BC},\)

\(\overrightarrow {AQ}  = {1 \over 2}\overrightarrow {A{\rm{D}}} ,\overrightarrow {DP}  = k\overrightarrow {DC}. \)

Hãy xác định k để bốn điểm P, Q, M, N cùng nằm trên một mặt phẳng.

Lời giải chi tiết

Cách 1

Từ \(\overrightarrow {AM}  = {1 \over 3}\overrightarrow {AB} \)  ta có \(\overrightarrow {BM}  = {2 \over 3}\overrightarrow {BA} \) , mặt khác \(\overrightarrow {BN}  = {2 \over 3}\overrightarrow {BC} \) nên MN // AC.

Nếu có k để các điểm M, N, P, Q thuộc một mặt phẳng thì mp(MNQ) cắt mp(ACD) theo giao tuyến PQ nên PQ // AC.

Mặt khác \(\overrightarrow {AQ}  = {1 \over 2}\overrightarrow {A{\rm{D}}} \) nên \(\overrightarrow {DP}  = {1 \over 2}\overrightarrow {DC} \).

Vậy \(k = {1 \over 2}\) thì các điểm M, N, P, Q cùng thuộc một mặt phẳng.

Cách 2:

Đặt \(\overrightarrow {DA}  = \overrightarrow a ,\overrightarrow {DB}  = \overrightarrow b ,\overrightarrow {DC}  = \overrightarrow c \) .

Khi đó \(\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow c  - \overrightarrow b ,\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow b  - \overrightarrow a \).

Do \(\overrightarrow {AM}  = {1 \over 3}\overrightarrow {AB} \)

nên

$$\eqalign{
& \overrightarrow {AM} = {1 \over 3}\left( {\overrightarrow b - \overrightarrow a } \right) = - {1 \over 3}\overrightarrow a + {1 \over 3}\overrightarrow b \cr 
& \overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BN} = \overrightarrow b - \overrightarrow a + {2 \over 3}\left( {\overrightarrow c - \overrightarrow b } \right) \cr 
& = - \overrightarrow a + {1 \over 3}\overrightarrow b + {2 \over 3}\overrightarrow c \cr 
& \overrightarrow {AP} = \overrightarrow {A{\rm{D}}} + \overrightarrow {DP} = - \overrightarrow a + k\overrightarrow {DC} = - \overrightarrow a + k\overrightarrow c \cr 
& \overrightarrow {AQ} = - {1 \over 2}\overrightarrow a \cr} $$

Khi đó

\(\eqalign{  & \overrightarrow {MN}  =  - {2 \over 3}\overrightarrow a  + {2 \over 3}\overrightarrow c   \cr  & \overrightarrow {MP}  =  - {2 \over 3}\overrightarrow a  - {1 \over 3}\overrightarrow b  + k\overrightarrow c   \cr  & \overrightarrow {MQ}  =  - {1 \over 6}\overrightarrow a  - {1 \over 3}\overrightarrow b  \cr} \)

Các điểm M, N, P, Q thuộc một mặt phẳng khi và chỉ khi có số x, y sao cho

\(\eqalign{& \overrightarrow {MP} = x\overrightarrow {MN} + y\overrightarrow {MQ} \cr & \Leftrightarrow - {2 \over 3}\overrightarrow a - {1 \over 3}\overrightarrow b + k\overrightarrow c \cr & = - {2 \over 3}x\overrightarrow a + {2 \over 3}x\overrightarrow c - {1 \over 6}y\overrightarrow a - {1 \over 3}y\overrightarrow b \cr} \)

Do \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \)  không đồng phẳng nên điều đó tương đương với:

\(\eqalign{  & \left\{ \matrix{   - {2 \over 3}x - {1 \over 6}y =  - {2 \over 3} \hfill \cr   - {1 \over 3}y =  - {1 \over 3} \hfill \cr  {2 \over 3}x = k \hfill \cr}  \right.  \cr  &  \Rightarrow y = 1,x = {3 \over 4},k = {1 \over 2} \cr} \)

Vậy khi \(k = {1 \over 2}\)  thì các điểm M, N, P, Q thuộc cùng một mặt phẳng.