Bài 1.41 trang 14 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

${\sin ^2}x + {\sin ^2}2x + {\sin ^2}3x = {3 \over 2}$

Phương pháp giải:

Hướng dẫn:

${\sin ^2}x + {\sin ^2}2x + {\sin ^2}3x $ $= {3 \over 2} - {1 \over 2}\left( {\cos 2x + \cos 4x + \cos 6x} \right).$

Do đó phương trình đã cho tương đương với:

$\cos 2x + \cos 4x + \cos 6x = 0$ $ \Leftrightarrow 2\cos 4x\cos 2x + \cos 4x = 0$$ \Leftrightarrow \cos 4x\left( {2\cos 2x + 1} \right) = 0$

Lời giải chi tiết:

${\sin ^2}x + {\sin ^2}2x + {\sin ^2}3x = {3 \over 2}$

$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \frac{{1 - \cos 2x}}{2} + \frac{{1 - \cos 4x}}{2} + \frac{{1 - \cos 6x}}{2} = \frac{3}{2}\\
\Leftrightarrow 1 - \cos 2x + 1 - \cos 4x + 1 - \cos 6x = 3\\
\Leftrightarrow \cos 2x + \cos 4x + \cos 6x = 0\\
\Leftrightarrow \left( {\cos 2x + \cos 6x} \right) + \cos 4x = 0\\
\Leftrightarrow 2\cos 4x\cos 2x + \cos 4x = 0\\
\Leftrightarrow \cos 4x\left( {2\cos 2x + 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos 4x = 0\\
\cos 2x = - \frac{1}{2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
4x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\
2x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{4}\\
x = \pm \frac{\pi }{3} + k\pi
\end{array} \right.
\end{array}$

Vậy $x = {\pi  \over 8} + {{k\pi } \over 4},x =  \pm {\pi  \over 3} + k\pi $.

${\sin ^2}3x + {\sin ^2}4x = {\sin ^2}5x + {\sin ^2}6x$

Phương pháp giải:

Hướng dẫn: Dùng công thức hạ bậc rồi rút gọn thì được

$\cos 6x + \cos 8x = \cos 10x + \cos 12x$ hay $2\cos 7x\cos x = 2\cos 11x\cos x$

Cuối cùng, cần chú  ý thu gọn các họ nghiệm.

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}
{\sin ^2}3x + {\sin ^2}4x = {\sin ^2}5x + {\sin ^2}6x\\
\Leftrightarrow \frac{{1 - \cos 6x}}{2} + \frac{{1 - \cos 8x}}{2}\\
= \frac{{1 - \cos 10x}}{2} + \frac{{1 - \cos 12x}}{2}\\
\Leftrightarrow 1 - \cos 6x + 1 - \cos 8x\\
= 1 - \cos 10x + 1 - \cos 12x\\
\Leftrightarrow \cos 6x + \cos 8x = \cos 10x + \cos 12x\\
\Leftrightarrow 2\cos 7x\cos x = 2\cos 11x\cos x\\
\Leftrightarrow 2\cos x\left( {\cos 7x - \cos 11x} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos x = 0\\
\cos 7x = \cos 11x
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\
11x = 7x + k2\pi \\
11x = - 7x + k2\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\
x = \frac{{k\pi }}{2}\\
x = \frac{{k\pi }}{9}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{{k\pi }}{2}\\
x = \frac{{k\pi }}{9}
\end{array} \right.
\end{array}$

Vậy $x = {{k\pi } \over 2};x = {{k\pi } \over 9}$.

${\sin ^2}2x + {\sin ^2}4x = {\sin ^2}6x$ 

Phương pháp giải:

Hướng dẫn: Dùng công thức hạ bậc rồi rút gọn thì được

${1 \over 2}\left( {\cos 12x - \cos 4x} \right) + {\sin ^2}4x = 0$

Biến đổi tiếp thành $ - \sin 8x\sin 4x + {\sin ^2}4x = 0$

hay $ - \cos 4x{\sin ^2}4x + {\sin ^2}4x = 0$

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}
{\sin ^2}2x + {\sin ^2}4x = {\sin ^2}6x\\
\Leftrightarrow \frac{{1 - \cos 4x}}{2} + {\sin ^2}4x = \frac{{1 - \cos 12x}}{2}\\
\Leftrightarrow 1 - \cos 4x + 2{\sin ^2}4x = 1 - \cos 12x\\
\Leftrightarrow 2{\sin ^2}4x + \cos 12x - \cos 4x = 0\\
\Leftrightarrow 2{\sin ^2}4x - 2\sin 8x\sin 4x = 0\\
\Leftrightarrow 2{\sin ^2}4x - 4{\sin ^2}4x\cos 4x = 0\\
\Leftrightarrow 2{\sin ^2}4x\left( {1 - 2\cos 4x} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin 4x = 0\\
\cos 4x = \frac{1}{2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
4x = k\pi \\
4x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{{k\pi }}{4}\\
x = \pm \frac{\pi }{{12}} + \frac{{k\pi }}{2}
\end{array} \right.
\end{array}$

Vậy $x = {{k\pi } \over 4},x =  \pm {\pi  \over {12}} + {{k\pi } \over 2}$.

${\cos ^2}x + {\cos ^2}2x + {\cos ^2}3x + {\cos ^2}4x = 2$

Lời giải chi tiết:

${\cos ^2}x + {\cos ^2}2x + {\cos ^2}3x + {\cos ^2}4x = 2$

$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \frac{{1 + \cos 2x}}{2} + \frac{{1 + \cos 4x}}{2}\\
+ \frac{{1 + \cos 6x}}{2} + \frac{{1 + \cos 8x}}{2} = 2\\
\Leftrightarrow 1 + \cos 2x + 1 + \cos 4x\\
+ 1 + \cos 6x + 1 + \cos 8x = 4\\
\Leftrightarrow \cos 2x + \cos 4x + \cos 6x + \cos 8x = 0\\
\Leftrightarrow 2\cos 3x\cos x + 2\cos 7x\cos x = 0\\
\Leftrightarrow 2\cos x\left( {\cos 3x + \cos 7x} \right) = 0\\
\Leftrightarrow 2\cos x.2\cos 5x\cos 2x = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos x = 0\\
\cos 2x = 0\\
\cos 5x = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\
x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\\
x = \frac{\pi }{{10}} + \frac{{k\pi }}{5}
\end{array} \right.
\end{array}$

Vậy $x = {\pi  \over 2} + k\pi ,x = {\pi  \over 4} + {{k\pi } \over 2},$ $x = {\pi  \over {10}} + {{k\pi } \over 5}$

${\cos ^2}3x + {\cos ^2}4x + {\cos ^2}5x = {3 \over 2}$

Lời giải chi tiết:

${\cos ^2}3x + {\cos ^2}4x + {\cos ^2}5x = {3 \over 2}$

$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \frac{{1 + \cos 6x}}{2} + \frac{{1 + \cos 8x}}{2} + \frac{{1 + \cos 10x}}{2} = \frac{3}{2}\\
\Leftrightarrow 1 + \cos 6x + 1 + \cos 8x + 1 + \cos 10x = 3\\
\Leftrightarrow \cos 6x + \cos 8x + \cos 10x = 0\\
\Leftrightarrow 2\cos 8x\cos 2x + \cos 8x = 0\\
\Leftrightarrow \cos 8x\left( {2\cos 2x + 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos 8x = 0\\
\cos 2x = - \frac{1}{2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
8x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\
2x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{{16}} + \frac{{k\pi }}{8}\\
x = \pm \frac{\pi }{3} + k\pi
\end{array} \right.
\end{array}$

Vậy $x = {\pi  \over {16}} + {{k\pi } \over 8},x =  \pm {\pi  \over 3} + k\pi $     

$8{\cos ^4}x = 1 + \cos 4x$

Phương pháp giải:

Hướng dẫn:

Sử dụng công thức $2{\cos ^2}x = 1 + \cos 2x$ và $1 + \cos 4x = 2{\cos ^2}2x$ để biến đổi đưa về phương trình đối với $\cos 2x$

Lời giải chi tiết:

$8{\cos ^4}x = 1 + \cos 4x$

$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 8{\left( {\frac{{1 + \cos 2x}}{2}} \right)^2} = 1 + 2{\cos ^2}2x - 1\\
\Leftrightarrow 2{\left( {1 + \cos 2x} \right)^2} = 2{\cos ^2}2x\\
\Leftrightarrow {\left( {1 + \cos 2x} \right)^2} = {\cos ^2}2x\\
\Leftrightarrow 1 + 2\cos 2x + {\cos ^2}2x = {\cos ^2}2x\\
\Leftrightarrow \cos 2x = - \frac{1}{2}\\
\Leftrightarrow 2x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\
\Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{3} + k\pi
\end{array}$

Vậy $x =  \pm {\pi  \over 3} + k\pi $

${\sin ^4}x + {\cos ^4}x = \cos 4x$

Lời giải chi tiết:

${\sin ^4}x + {\cos ^4}x = \cos 4x$

$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {\left( {\frac{{1 - \cos 2x}}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{{1 + \cos 2x}}{2}} \right)^2}\\
= 2{\cos ^2}2x - 1\\
\Leftrightarrow {\left( {1 - \cos 2x} \right)^2} + {\left( {1 + \cos 2x} \right)^2}\\
= 8{\cos ^2}2x - 4\\
\Leftrightarrow 1 - 2\cos 2x + {\cos ^2}2x\\
+ 1 + 2\cos 2x + {\cos ^2}2x\\
= 8{\cos ^2}2x - 4\\
\Leftrightarrow 6{\cos ^2}2x - 6 = 0\\
\Leftrightarrow {\cos ^2}2x = 1\\
\Leftrightarrow \sin 2x = 0\\
\Leftrightarrow 2x = k\pi \\
\Leftrightarrow x = \frac{{k\pi }}{2}
\end{array}$

Vậy $x = {{k\pi } \over 2}$

$3{\cos ^2}2x -3 {\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 0$

Lời giải chi tiết:

$3{\cos ^2}2x -3 {\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 0$

$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 3{\cos ^2}2x - 3.\frac{{1 - \cos 2x}}{2} + \frac{{1 + \cos 2x}}{2} = 0\\
\Leftrightarrow 6{\cos ^2}2x - 3 + 3\cos 2x + 1 + \cos 2x = 0\\
\Leftrightarrow 6{\cos ^2}2x + 4\cos 2x - 2 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos 2x = - 1\\
\cos 2x = \frac{1}{3}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x = \pi + k2\pi \\
2x = \pm \arccos \frac{1}{3} + k2\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\
x = \pm \frac{1}{2}\arccos \frac{1}{3} + k\pi
\end{array} \right.
\end{array}$