Bài 1.48 trang 20 SBT Giải tích 12 Nâng cao

Tìm cực đại các hệ số m, n, p  sao cho hàm số

\(f(x) =  - {1 \over 3}{x^3} + m{x^2} + nx + p\)

Đạt cực đại tại điểm x = 3 và đồ thị (C) của nó tiếp xúc với đường thẳng \(y = 3x - {1 \over 3}\) tại giao điểm của (C) với trục tung

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng \(y = 3x - {1 \over 3}\) cắt trục tung tại điểm \(A\left( {0; - {1 \over 3}} \right)\)

Vì đồ thị (C) của hàm số đã cho đi qua điểm A nên \(f(0) = p =  - {1 \over 3}\)

Ta có \(f'(x) =  - {x^2} + 2mx + n\).

Vì (C) tiếp xúc với đường thẳng \(y = 3x - {1 \over 3}\) tại điểm A nên \(f'(0) = n = 3\)

Do hàm số đạt cực đại tại điểm x = 3 nên \(f'(3) =  - 9 + 6m + 3 = 0\)

\(\Leftrightarrow m = 1\).

Với các giá trị m, n, p vừa tìm được, ta có hàm số

\(f(x) =  - {1 \over 3}{x^3} + {x^2} + 3x + {1 \over 3}\)

Khi đó, \(f''(x) =  - 2x + 2\) và \(f''(3) =  - 4 < 0\).

Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 3.

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với các giá trị vừa tìm được của m, n, p

Lời giải chi tiết:

+) TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).

+) Chiều biến thiên:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  + \infty \)

\(\begin{array}{l}y' =  - {x^2} + 2x + 3\\y' = 0 \Leftrightarrow  - {x^2} + 2x + 3 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = 3\end{array} \right.\end{array}\)

BBT:

Hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {3; + \infty } \right)\).

Hàm số đồng biến trên \(\left( { - 1;3} \right)\).

Hàm số đạt cực đại tại \(x = 3,{y_{CD}} = \frac{{26}}{3}\)

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x =  - 1,{y_{CT}} =  - 2\).

+) Đồ thị:

\(\begin{array}{l}y'' =  - 2x + 2\\y'' = 0 \Leftrightarrow  - 2x + 2 = 0\\ \Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow y\left( 1 \right) = \frac{{10}}{3}\end{array}\)

Điểm uốn \(I\left( {1;\frac{{10}}{3}} \right)\).

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm \(\left( {0; - \frac{1}{3}} \right)\).

Điểm cực đại \(\left( {3;\frac{{26}}{3}} \right)\) và điểm cực tiểu \(\left( { - 1; - 2} \right)\).