Bài 3 trang 84 SGK Giải tích 12

a) ${{\log_3}\left( {5x{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}{\log_3}\left( {7x{\rm{ }} + {\rm{ }}5} \right)}$

Phương pháp giải:

+) Tìm điều kiện xác định.

+) Đưa về cùng cơ số: ${\log _a}f\left( x \right) = {\log _a}g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} f\left( x \right) > 0\\ g\left( x \right) > 0\\ f\left( x \right) = g\left( x \right)\end{array} \right.$

Lời giải chi tiết:

$\displaystyle {{\log_3}\left( {5x{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}{\log_3}\left( {7x{\rm{ }} + {\rm{ }}5} \right)}$ (1)

$DK:\left\{ \begin{array}{l}
5x + 3 > 0\\
7x + 5 > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x > - \dfrac{3}{5}\\
x > - \dfrac{5}{7}
\end{array} \right. $ $\Leftrightarrow x > - \dfrac{3}{5}$

TXĐ: $\displaystyle D = \left( {{{ - 3} \over 5}, + \infty } \right)$

Khi đó: (1) $\displaystyle \Rightarrow 5x + 3 = 7x + 5 $ $\displaystyle ⇔2x=-2 ⇔ x = -1$ (loại)

Vậy phương trình (1) vô nghiệm.

b) ${\log \left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right){\rm{ }}-{\rm{ }}\log \left( {2x{\rm{ }}-{\rm{ }}11} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}\log {\rm{ }}2}$

Lời giải chi tiết:

$\displaystyle {\log\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right){\rm{ }}-{\rm{ }}\log\left( {2x{\rm{ }}-{\rm{ }}11} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}\log{\rm{ }}2}$ (2)

$DK:\left\{ \begin{array}{l}
x - 1 > 0\\
2x - 11 > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x > 1\\
x > \dfrac{{11}}{2}
\end{array} \right. $ $\Leftrightarrow x > \dfrac{{11}}{2}$

TXĐ: $\displaystyle D = \left( {\dfrac{{11}}{2}; + \infty } \right).$

Khi đó: $\displaystyle (2) \Rightarrow \log {{x - 1} \over {2x - 11}} = \log 2$ $\displaystyle \Leftrightarrow {{x - 1} \over {2x - 11}} = 2$ $\displaystyle \Rightarrow x - 1 = 4x - 22  \Leftrightarrow 3x=21$ $\displaystyle \Leftrightarrow x = 7 (TM)$

Vậy phương trình có nghiệm là $\displaystyle x = 7.$

c) ${{\log_2}\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}5} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}{\log_2}\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}3}$

Lời giải chi tiết:

$\displaystyle {{\log_2}\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}5} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}{\log_2}\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}3}$ (3)

$DK:\left\{ \begin{array}{l}
x - 5 > 0\\
x + 2 > 0
\end{array} \right. $ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x > 5\\
x > - 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 5$

TXĐ: $\displaystyle (5; +∞)$

Khi đó:

$\displaystyle (3) \, \Leftrightarrow {\log _2}[(x - 5)(x + 2)]=3$

$\displaystyle \Leftrightarrow \left( {x - 5} \right)(x + 2) = 2^3 $

$ \Leftrightarrow {x^2} - 3x - 10 = 8$

$\displaystyle \Leftrightarrow {x^2} - 3x - 18 = 0  \\ \Leftrightarrow (x-6)(x+3)=0 \\ \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x - 6=0 \hfill \cr 
x + 3=0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 6 \, \, (tm) \hfill \cr 
x = - 3 \, \,(ktm) \hfill \cr} \right.$

Vậy phương trình có nghiệm $\displaystyle x = 6$

d) ${\log {\rm{ }}\left( {{x^2}-{\rm{ }}6x{\rm{ }} + {\rm{ }}7} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}\log {\rm{ }}\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right)}$

Lời giải chi tiết:

$\displaystyle {\log_{\rm{ }}\left( {{x^2}-{\rm{ }}6x{\rm{ }} + {\rm{ }}7} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}\log{\rm{ }}\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right)}$ (4)

$DK:\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - 6x + 7 > 0\\
x - 3 > 0
\end{array} \right. $ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
x > 3 + \sqrt 2 \\
x < 3 - \sqrt 2
\end{array} \right.\\
x > 3
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow x > 3 + \sqrt 2 $

TXĐ: $\displaystyle D = (3 + \sqrt 2 , + \infty )$

Khi đó:

$\displaystyle \begin{array}{l}
\left( 4 \right) \Leftrightarrow {x^2} - 6x + 7 = x - 3\\
\Leftrightarrow {x^2} - 7x + 10 = 0\\
\Leftrightarrow \left( {x - 5} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x - 5 = 0\\
x - 2 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 5\;\;\left( {tm} \right)\\
x = 2\;\;\left( {ktm} \right)
\end{array} \right..
\end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm là $\displaystyle x = 5$.