Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi biểu thức sau :
LG a
LG a
\(a\sin x + b\cos x\) (a và b là hằng số, \(a^2+ b^2≠ 0\))
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\eqalign{
& a\sin x + b\cos x \cr&= \sqrt {{a^2} + {b^2}} \left( {{a \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\sin x + {b \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\cos x} \right) \cr
& = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \left( {\sin x\cos \alpha + \sin \alpha \cos x} \right) \cr
& = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \sin \left( {x + \alpha } \right) \cr } \)
trong đó \(\left\{ \begin{array}{l}
\cos \alpha = \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\\
\sin \alpha = \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}
\end{array} \right.\)
Vì \( - 1 \le \sin \left( {x + \alpha } \right) \le 1\) nên:
\( - \sqrt {{a^2} + {b^2}} \le \sqrt {{a^2} + {b^2}} \sin \left( {x + \alpha } \right) \le \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)
Do đó, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \(a\sin x + b\cos x\) lần lượt là :
\(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \,\text{ và }\, - \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)
LG b
LG b
\({\sin ^2}x + \sin x\cos x + 3{\cos ^2}x;\)
Lời giải chi tiết:
Ta có :
\(\eqalign{
& y={\sin ^2}x + \sin x\cos x + 3{\cos ^2}x \cr&= {{1 - \cos 2x} \over 2} +{1 \over 2}\sin 2x + 3.{{1 + \cos 2x} \over 2} \cr
& = \frac{1}{2} - \frac{{\cos 2x}}{2} + \frac{1}{2}\sin 2x + \frac{3}{2} + \frac{{3\cos 2x}}{2}\cr&= {1 \over 2}\sin 2x + \cos 2x + 2 \cr } \)
Ta có:
\(\begin{array}{l}
{\left( {\frac{1}{2}\sin 2x + \cos 2x} \right)^2}\\
\le \left( {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + {1^2}} \right)\left( {{{\sin }^2}2x + {{\cos }^2}x} \right)\\
= \left( {\frac{1}{4} + 1} \right).1 = \frac{5}{4}\\
\Rightarrow {\left( {\frac{1}{2}\sin 2x + \cos 2x} \right)^2} \le \frac{5}{4}\\
\Rightarrow - \frac{{\sqrt 5 }}{2} \le \frac{1}{2}\sin 2x + \cos 2x \le \frac{{\sqrt 5 }}{2}
\end{array}\)
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow - \frac{{\sqrt 5 }}{2} + 2 \le \frac{1}{2}\sin 2x + \cos 2x + 2 \le \frac{{\sqrt 5 }}{2} + 2\\
\Rightarrow - \frac{{\sqrt 5 }}{2} + 2 \le y \le \frac{{\sqrt 5 }}{2} + 2
\end{array}\)
Do đó giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \({\sin ^2}x + \sin x\cos x + 3{\cos ^2}x\) lần lượt là :
\({{\sqrt 5 } \over 2} + 2\,\text{ và }\, - {{\sqrt 5 } \over 2} + 2\)
LG c
LG c
\(A{\sin ^2}x + B\sin x\cos x + C{\cos ^2}x\) (A, B và C là hằng số).
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\eqalign{
& A{\sin ^2}x + B\sin x\cos x + C{\cos ^2}x \cr
& = A.{{1 - \cos 2x} \over 2} + {B \over 2}.\sin 2x + C.{{1 + \cos 2x} \over 2} \cr
& = {B \over 2}.\sin 2x + {{C - A} \over 2}\cos 2x + {{C + A} \over 2} \cr&= a\sin 2x + b\cos 2x + c \cr
& \text{ trong đó}\,\,a = {B \over 2},\,b = {{C - A} \over 2},\,c = {{C + A} \over 2} \cr} \)
Ta có:
\(\begin{array}{l}
{\left( {a\sin 2x + b\cos 2x} \right)^2}\\
\le \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{{\sin }^2}2x + {{\cos }^2}2x} \right)\\
= \left( {{a^2} + {b^2}} \right).1 = {a^2} + {b^2}\\
\Rightarrow {\left( {a\sin 2x + b\cos 2x} \right)^2} \le {a^2} + {b^2}\\
\Rightarrow - \sqrt {{a^2} + {b^2}} \le a\sin 2x + b\cos 2x \le \sqrt {{a^2} + {b^2}} \\
\Rightarrow - \sqrt {{a^2} + {b^2}} + c \le a\sin 2x + b\cos 2x + c \le \sqrt {{a^2} + {b^2}} + c
\end{array}\)
Vậy \(A{\sin ^2}x + B\sin x\cos x + C{\cos ^2}x\) đạt giá trị lớn nhất là :
\(\sqrt {{a^2} + {b^2}} + c\) \( = \sqrt {{{\left( {\frac{B}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{C - A}}{2}} \right)}^2}} + \frac{{C + A}}{2}\) \( = \sqrt {{{{B^2} + {{\left( {C - A} \right)}^2}} \over 4}} + {{C + A} \over 2} \) \(= {1 \over 2}\sqrt {{B^2} + \left( {C - A} \right)^2} + {{C + A} \over 2}\)
và giá trị nhỏ nhất là \(-\sqrt {{a^2} + {b^2}} + c\) \( = -\sqrt {{{\left( {\frac{B}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{C - A}}{2}} \right)}^2}} + \frac{{C + A}}{2}\) \( =- \sqrt {{{{B^2} + {{\left( {C - A} \right)}^2}} \over 4}} + {{C + A} \over 2} \) \( = - {1 \over 2}\sqrt {{B^2} + {{\left( {C - A} \right)}^2}} + {{C + A} \over 2}.\)
Bài 3. Một số vấn đề mang tính chất toàn cầu - Tập bản đồ Địa lí 11
Tóm tắt, bố cục, nội dung chính các tác phẩm SGK Văn 11 - Tập 2
Chủ đề 2. Sóng
Chủ đề 3. Sinh trưởng và phát triển ở sinh vật
Chương 1. Cách mạng tư sản và sự phát triển của chủ nghĩa tư bản
SGK Toán Lớp 11
SBT Toán Lớp 11
SBT Toán Nâng cao Lớp 11
SGK Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SGK Toán 11 - Cánh Diều
SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Chuyên đề học tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Chuyên đề học tập Toán 11 - Cánh Diều
Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo
SBT Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SBT Toán 11 - Cánh Diều
SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Tổng hợp Lí thuyết Toán 11
Bài giảng ôn luyện kiến thức môn Toán lớp 11