Câu 33 trang 56 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.

Đề bài

Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi O, O’ lần lượt là tâm của các hình bình hành ABCD và ABEF; \({G_1},\,{G_2}\) lần lượt là trọng tâm của tam giác ABD và ABE. Chứng minh rằng:

a) OO’ song song với mặt phẳng (ADF) và (BCE);

b) \({G_1}{G_2}\) song song với mặt phẳng (CEF).

Lời giải chi tiết

a) OO’ là đường trung bình của tam giác BDF suy ra OO’ // DF.

Mà \(DF \subset \left( {ADF} \right) \Rightarrow OO'//\left( {ADF} \right).\)

OO’ là đường trung bình của tam giác ACE suy ra OO’ // CE.

Mà \(CE \subset \left( {BCE} \right) \Rightarrow OO'//\left( {BCE} \right).\)

b) Gọi I là trung điểm của AB thì I thuộc đường thẳng \({G_1}D\) và đường thẳng \({G_2}E.\)

Xét tam giác  IDE. Ta có:

\({{I{G_1}} \over {ID}} = {{I{G_2}} \over {IE}} = {1 \over 3} \Rightarrow {G_1}{G_2}//ED.\)

Do đường thẳng DE nằm trong mặt phẳng (CEF) suy ra \({G_1}{G_2}//\left( {CEF} \right).\)