Câu 3.3 trang 86 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

${1 \over {n + 1}} + {1 \over {n + 2}} + ... + {1 \over {3n + 1}} > 1$

Lời giải chi tiết:

Ta sẽ chứng minh

${1 \over {n + 1}} + {1 \over {n + 2}} + ... + {1 \over {3n + 1}} > 1$                                (1)

Với mọi $n \in N^*,$ bằng phương pháp quy nạp.

Với $n = 1,$ ta có

              ${1 \over 2} + {1 \over 3} + {1 \over 4} = {{13} \over {12}} > 1.$

Như vậy, (1) đúng khi $n = 1.$

Giả sử đã có (1) đúng khi $n = k,k \in {N^ * }$, tức là

              ${1 \over {k + 1}} + {1 \over {k + 2}} + ... + {1 \over {3k + 1}} > 1,$

Ta chứng minh (1) cũng đúng khi $n = k + 1,$ nghĩa là ta sẽ chứng minh

                ${1 \over {k + 1}} + {1 \over {k + 2}} + ... + {1 \over {3k + 1}} + {1 \over {3k + 2}} + {1 \over {3k + 3}} + {1 \over {3k + 4}} > 1$

Thật vậy, ta có

     ${1 \over {k + 1}} + {1 \over {k + 2}} + ... + {1 \over {3k + 1}} + {1 \over {3k + 2}} + {1 \over {3k + 3}} + {1 \over {3k + 4}}$

$ = {1 \over {k + 1}} + {1 \over {k + 2}} + ... + {1 \over {3k + 1}} + {1 \over {3k + 2}} + {1 \over {3k + 3}} + {1 \over {3k + 4}}$

$- {1 \over {k + 1}}$

$ = {1 \over {k + 1}} + {1 \over {k + 2}} + ... + {1 \over {3k + 1}} + {2 \over {3(k + 1)(3k + 2)(3k + 4)}}$

$ > {1 \over {k + 1}} + {1 \over {k + 2}} + ... + {1 \over {3k + 1}} > 1$  (theo giả thiết quy nạp).

Từ các chứng trên suy ra (1) đúng với mọi $n \in N^*$

${1 \over 2}.{3 \over 4}.{5 \over 6}...{{2n + 1} \over {2n + 2}} < {1 \over {\sqrt {3n + 4} }}$

Lời giải chi tiết:

Ta sẽ chứng minh

            ${1 \over 2}.{3 \over 4}.{5 \over 6}...{{2n + 1} \over {2n + 2}} < {1 \over {\sqrt {3n + 4} }}$

     Với mọi $n \in N^*,$ bằng phương pháp quy nạp.

Với $n = 1,$ ta có

${1 \over 2}.{3 \over 4} = {3 \over 8} < {1 \over {\sqrt {3.1 + 4} }}$ (  vì $9.7 = 63 < 64 = {8^2}$ ).

Như vậy, (2) đúng khi $n = 1.$

Giả sử có (2) đúng khi $n = k,k \in {N^ * }$. Khi đó, ta có

             ${1 \over 2}.{3 \over 4}.{5 \over 6}...{{2k + 1} \over {2k + 2}}.{{2k + 3} \over {2k + 4}} < {1 \over {\sqrt {3n + 4} }}.{{2k + 3} \over {2k + 4}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)$   

Lại có : ${(2k + 3)^2}.(3k + 7) < {(2k + 3)^2}.(3k + 7) + k + 1$

$= (3k + 4){(2k + 4)^2}.$

Do đó :      ${1 \over {\sqrt {3n + 4} }}.{{2k + 3} \over {2k + 4}} < {1 \over {\sqrt {3n + 7} }}.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(4)$

Từ (3) và (4) suy ra

                                ${1 \over 2}.{3 \over 4}.{5 \over 6}...{{2k + 1} \over {2k + 2}}.{{2k + 3} \over {2k + 4}} < {1 \over {\sqrt {3k + 7} }},$

Nghĩa là ta cũng có (2) đúng khi $n = k + 1.$

Từ các chứng minh trên suy ra (2) đúng với mọi $n \in N^*$.