Cho số nguyên dương n và cho n số thực dương \({x_1},{x_2},...,{x_n}\) thỏa mãn điều kiện \({x_1}{x_2}...{x_n} = 1\). Chứng minh rằng \({x_1} + {x_2} + ... + {x_n} \ge n.\)

Lời giải chi tiết

Ta sẽ giải bài toán bằng phương pháp quy nạp.

Kí hiệu bất đẳng thức cần chứng minh theo yêu cầu của đề bài bởi (1)

Với \(n = 1,\) theo giả thiết bài toán ta có \({x_1} = 1.\) Vì thế, ta có (1) đúng khi \(n = 1.\)

Với \(n = 2,\) xét hai số thực dương tùy ý \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn điều kiện

\({x_1}{x_2} = 1.\) (2)

Hiển nhiên, trong hai số \({x_1},{x_2}\) phải có một số không lớn hơn 1 và một số không bé hơn 1. Không mất tổng quát, giả sử \({x_1} \le 1\) và \({x_2} \ge 1.\) Khi đó, ta có

\(\left( {1 - {x_1}} \right)\left( {{x_2} - 1} \right) \ge 0\)

Suy ra \({x_1} + {x_2} \ge 1 + {x_1}{x_2} \ge 2\) (do (2)). Điều này chứng tỏ (1) đúng khi \(n = 2\)

Giả sử có (1) đúng khi \(n = k,k \in N^*\) và \(k \ge 2,\) tức là giả sử với k số thực dương tùy ý \({x_1},{x_2},...,{x_k}\) thỏa mãn điều kiện \({x_1},{x_2},...,{x_k}\) ta luôn có

\({x_1} + {x_2} + ... + {x_k} \ge k\)

Xét \(k + 1\) số thực dương tùy ý \({x_1},{x_2},...,{x_{k - 1}},{x_k}{x_{k + 1}}\) có tích bằng 1 nên theo giả thiết quy nạp ta có

\({x_1} + {x_2} + ... + {x_{k - 1}} + {x_k}{x_{k + 1}} \ge k\) (3)

Hơn nữa, dễ thấy trong \(k + 1\) số \({x_1},{x_2},...,{x_{k - 1}},{x_k}{x_{k + 1}}\) phải có một số không lớn hơn 1 và một số không bé hơn 1. Không mất tổng quát, giả sử \({x_k} \le 1\) và \({x_{k + 1}} \ge 1.\) Khi đó ta có

\(\left( {1 - {x_k}} \right)\left( {{x_{k +1}} - 1} \right) \ge 0\) hay \({x_k} + {x_{k + 1}} \ge 1 + {x_k}{x_{k + 1}}\) (4)

Từ (3) và (4) suy ra

\({x_1} + {x_2} + ... + {x_{k - 1}} + {x_k} + {x_{k + 1}} \ge \)

\({x_1} + {x_2} + ... + {x_{k - 1}} + {x_k}{x_{k + 1}} + 1 \ge k + 1\)

Như thế, ta cũng có (1) đúng khi \(n = k + 1\)

Từ các chứng minh trên suy ra ta có (1) đúng với n là một số nguyên dương tùy ý.

Fqa.vn

Báo cáo nội dung câu hỏi

Khác

Bình luận (0)

Bạn cần đăng nhập để bình luận

Xác nhận

Bạn chắc chắn muốn xóa nội dung này ?

Chương bài liên quan

Bài 2. Dãy số

Bài 3. Cấp số cộng

Bài 4. Cấp số nhân

Ôn tập chương III

Gợi ý sách

Xem thêm

Bạn có câu hỏi cần được giải đáp?

Bộ sách liên quan

FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)

Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn

Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.

Liên kết · Hỏi đáp bài tập · Giải bài tập SGK · Cẩm nang · Đề ôn luyện

hỗ trợ · Điều khoản & chính sách · Sitemap · Liên hệ · Hướng dẫn sử dụng · Đánh giá và góp ý · Dịch vụ FQA media

Tải ứng dụng FQA

Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024