Câu 3.51 trang 93 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Đề bài

Tam giác có ba đỉnh của nó là ba trung điểm ba cạnh của tam giác ABC được gọi là tam giác trung bình của tam giác ABC.

Xây dựng dãy các tam giác \({A_1}{B_1}{C_1},{A_2}{B_2}{C_2},{A_3}{B_3}{C_3},...\) sao cho tam giác \({A_1}{B_1}{C_1}\) là một tam giác đều cạnh 1 và với mỗi số nguyên \(n \ge 2,\) tam giác \({A_n}{B_n}{C_n}\) là tam giác trung của tam giác \({A_{n - 1}}{B_{n - 1}}{C_{n - 1}}.\)

Với mỗi số nguyên dương n , kí hiệu \({r_n}\) tương ứng là bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác \({A_n}{B_n}{C_n}\).

Chứng minh rằng dãy số \(({r_n})\) là một cấp số nhân. Hãy xác định số hạng tổng quát của cấp số nhân đó.

Lời giải chi tiết

Từ định nghĩa tam giác trung bình suy ra mỗi cạnh tam giác \({A_{n + 1}}{B_{n + 1}}{C_{n + 1}}\) là một đường trung bình của tam giác \({A_n}{B_n}{C_n}\). Vì thế, giả thiết tam giác \({A_1}{B_1}{C_1}\) là tam giác đều suy ra \({A_n}{B_n}{C_n}\) là tam giác đều với mọi \(n \ge 1\). Từ đó kí hiệu \({a_n}\) là độ dài cạnh của tam giác \({A_n}{B_n}{C_n}\), ta có

        \({r_{n + 1}} = {{{a_{n + 1}}} \over {\sqrt 3 }} = {{{a_n}} \over {2.\sqrt 3 }} = {{{r_n}} \over 2}\) với mọi \(n \ge 1.\)

Do đó, dãy số \(({r_n})\) là một cấp số nhân với công bội \(q = {1 \over 2}\) và số hạng đầu

                           \({r_1} = {{{a_1}} \over {\sqrt 3 }} = {1 \over {\sqrt 3 }}.\)

Theo định lí về số hạng tổng quát của một cấp số nhân, ta có số hạng tổng quát của cấp số nhân nói trên là :

\({r_n} = {r_1} \times {q^{n - 1}} = {1 \over {\sqrt 3 }} \times {\left( {{1 \over 2}} \right)^{n - 1}} = {1 \over {\sqrt 3 {{.2}^{n - 1}}}}.\)