Xây dựng dãy các tam giác \({A_1}{B_1}{C_1},{A_2}{B_2}{C_2},{A_3}{B_3}{C_3},...\) sao cho tam giác \({A_1}{B_1}{C_1}\) là một tam giác đều cạnh 1 và với mỗi số nguyên \(n \ge 2,\) tam giác \({A_n}{B_n}{C_n}\) là tam giác trung của tam giác \({A_{n - 1}}{B_{n - 1}}{C_{n - 1}}.\)

Với mỗi số nguyên dương n , kí hiệu \({r_n}\) tương ứng là bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác \({A_n}{B_n}{C_n}\).

Chứng minh rằng dãy số \(({r_n})\) là một cấp số nhân. Hãy xác định số hạng tổng quát của cấp số nhân đó.

Lời giải chi tiết

Từ định nghĩa tam giác trung bình suy ra mỗi cạnh tam giác \({A_{n + 1}}{B_{n + 1}}{C_{n + 1}}\) là một đường trung bình của tam giác \({A_n}{B_n}{C_n}\). Vì thế, giả thiết tam giác \({A_1}{B_1}{C_1}\) là tam giác đều suy ra \({A_n}{B_n}{C_n}\) là tam giác đều với mọi \(n \ge 1\). Từ đó kí hiệu \({a_n}\) là độ dài cạnh của tam giác \({A_n}{B_n}{C_n}\), ta có

\({r_{n + 1}} = {{{a_{n + 1}}} \over {\sqrt 3 }} = {{{a_n}} \over {2.\sqrt 3 }} = {{{r_n}} \over 2}\) với mọi \(n \ge 1.\)

Do đó, dãy số \(({r_n})\) là một cấp số nhân với công bội \(q = {1 \over 2}\) và số hạng đầu

\({r_1} = {{{a_1}} \over {\sqrt 3 }} = {1 \over {\sqrt 3 }}.\)

Theo định lí về số hạng tổng quát của một cấp số nhân, ta có số hạng tổng quát của cấp số nhân nói trên là :

\({r_n} = {r_1} \times {q^{n - 1}} = {1 \over {\sqrt 3 }} \times {\left( {{1 \over 2}} \right)^{n - 1}} = {1 \over {\sqrt 3 {{.2}^{n - 1}}}}.\)

Fqa.vn

Báo cáo nội dung câu hỏi

Khác

Bình luận (0)

Bạn cần đăng nhập để bình luận

Xác nhận

Bạn chắc chắn muốn xóa nội dung này ?

Chương bài liên quan

Ôn tập chương III

Gợi ý sách

Xem thêm

Bạn có câu hỏi cần được giải đáp?

Bộ sách liên quan

FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)

Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn

Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.

Liên kết · Hỏi đáp bài tập · Giải bài tập SGK · Cẩm nang · Đề ôn luyện

hỗ trợ · Điều khoản & chính sách · Sitemap · Liên hệ · Hướng dẫn sử dụng · Đánh giá và góp ý · Dịch vụ FQA media

Tải ứng dụng FQA

Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024