Chứng minh rằng với mọi số nguyên , ta luôn có bất đẳng thức sau:
LG a
$1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 3 }} + ... + {1 \over {\sqrt n }} > \sqrt n $
Lời giải chi tiết:
Ta sẽ chứng minh
$1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 3 }} + ... + {1 \over {\sqrt n }} > \sqrt n $ (1)
Với mọi $n \ge 2,$ bằng phương pháp quy nạp
Với $n = 2,$ hiển nhiên ta có $1 + {1 \over {\sqrt 2 }} > \sqrt 2 .$ Vì thế, (1) đúng khi $n = 2$
Giả sử đã có (1) đúng khi $n = k,k \in N^*$ và $k \ge 2,$ khi đó ta có
$1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 3 }} + ... + {1 \over {\sqrt k }} + {1 \over {\sqrt {k + 1} }} > \sqrt k + {1 \over {\sqrt {k + 1} }}$ (2)
Mà $\sqrt k + {1 \over {\sqrt {k + 1} }} > \sqrt {k + 1} $ (dễ thấy), nên từ (2) suy ra
$1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 3 }} + ... + {1 \over {\sqrt k }} + {1 \over {\sqrt {k + 1} }} > \sqrt {k + 1} $
Nghĩa là ta cũng có (1) đúng khi $n = k + 1$
Từ các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọi $n \ge 2$
LG b
$1 + {1 \over 2} + {1 \over 3} + ... + {1 \over {{2^n} - 1}} < n$
Lời giải chi tiết:
Chứng minh bằng phương pháp quy nạp
Bài 1. Bảo vệ chủ quyền lãnh thổ, biên giới quốc gia nước Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam
Chương 9. Anđehit - Xeton - Axit Cacboxylic
Unit 9: Good citizens
Unit 8: Cities of the future
Chủ đề 4: Chiến thuật thi đấu cơ bản
SGK Toán Lớp 11
SGK Toán Nâng cao Lớp 11
SBT Toán Lớp 11
SGK Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SGK Toán 11 - Cánh Diều
SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Chuyên đề học tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Chuyên đề học tập Toán 11 - Cánh Diều
Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo
SBT Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SBT Toán 11 - Cánh Diều
SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Tổng hợp Lí thuyết Toán 11
Bài giảng ôn luyện kiến thức môn Toán lớp 11