Câu 38 trang 121 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Trong mặt phẳng (P) cho đường tròn (C) đường kính AC = 2R. Gọi H là điểm thuộc AC (0 < AH < 2R). Một đường thẳng ∆ đi qua H cắt đường tròn (C) tại hai điểm B và D. Gọi S là điểm cố định sao cho SA vuông góc với (P), đặt SA = h. Một mặt phẳng (Q) đi qua điểm A và vuông góc với SC cắt các đường thẳng SB, SC, SD, SH lần lượt tại các điểm B₁, C₁, D₁, H₁.

a) Chứng minh rằng tứ giác AB₁C₁D₁ nôi tiếp một đường tròn.

b) Đường thẳng ∆ phải thỏa mãn điều kiện gì để H₁ là trung điểm của B₁D₁?

c) Đường thẳng ∆ phải thỏa mãn điều kiện gì để AB₁C₁D₁ là hình vuông?

Lời giải chi tiết

a) Vì (Q) qua A và \(\left( Q \right) \bot SC\) nên \(A{B_1} \bot SC\).

Mặt khác dễ thấy \(BC \bot \left( {SAB} \right)\) nên \(BC \bot A{B_1}\).

Vậy \(A{B_1} \bot mp\left( {SBC} \right)\), tức là \(A{B_1} \bot {B_1}{C_1}\).

Tương tự như trên, ta có \(A{{\rm{D}}_1} \bot {D_1}{C_1}.\)

Do đó, tứ diện AB₁C₁D₁ nội tiếp đường tròn.

b)

 Do tứ giác AB₁C₁D₁ nội tiếp đường tròn đường kính AC₁ mà AC₁ cắt B₁D₁, tại H₁ nên H₁ là trung điểm của B₁D₁, khi đó xảy ra một trong hai trường hợp sau:

- Trường hợp 1: \({B_1}{D_1} \bot A{C_1}\) tại H₁ (Hình 1)

- Trường hợp 2: B₁D₁ qua trung điểm H₁ của AC₁ (Hình 2)

Xét trường hợp 1

Vì \({B_1}{D_1} \bot A{C_1}\) nên \(A{B_1} = A{{\rm{D}}_1}\)

Mặt khác \(A{B_1},A{{\rm{D}}_1}\) là hai đường cao của hai tam giác vuông SAB và SAD nên

\(A{B_1} = A{{\rm{D}}_1} \Leftrightarrow AB = A{\rm{D}}\)

(Vì \({1 \over {A{S^2}}} + {1 \over {A{B^2}}} = {1 \over {AB_1^2}}\) và \({1 \over {A{S^2}}} + {1 \over {A{D^2}}} = {1 \over {AD_1^2}}\))

Lại có AC là đường kính của (C) nên

\(AB = A{\rm{D}} \Leftrightarrow {\rm{BD}} \bot AC\).

Vậy nếu đường thẳng ∆ vuông góc với AC tại H mà 0 < AH < AC thì H₁ là trung điểm của B₁D₁.

Xét trường hợp 2 (Hình 3)

Kẻ C₁K // H₁H, do H₁ là trung điểm của AC₁ nên AH = HK = x, từ đó CK = 2R – 2x. Khi đó

\(\eqalign{  & {{2{\rm{R}} - 2{\rm{x}}} \over {2{\rm{R}} - x}} = {{CK} \over {CH}} = {{C{C_1}} \over {C{\rm{S}}}}  \cr  &  = {{C{C_1}.C{\rm{S}}} \over {C{{\rm{S}}^2}}} = {{A{C^2}} \over {C{{\rm{S}}^2}}} = {{4{{\rm{R}}^2}} \over {{h^2} + 4{R^2}}}  \cr  &  \Leftrightarrow \left( {R - x} \right)\left( {{h^2} + 4{{\rm{R}}^2}} \right) = 2{R^2}\left( {2{\rm{R}} - x} \right)  \cr  &  \Leftrightarrow x = {{R{h^2}} \over {{h^2} + 2{{\rm{R}}^2}}} \cr} \)

Dễ thấy 0 < x < 2R

Vậy nếu đường thẳng ∆ quay quanh điểm H mà H được xác định bởi

\(AH = x = {{R{h^2}} \over {{h^2} + 2{{\rm{R}}^2}}},H \in AC\)

thì H₁ là trung điểm của B₁D₁