Đề bài
Chứng minh rằng với mọi số nguyên \(n ≥ 2\), ta luôn có đẳng thức sau :
\(\left( {1 - {1 \over 4}} \right)\left( {1 - {1 \over 9}} \right)...\left( {1 - {1 \over {{n^2}}}} \right) = {{n + 1} \over {2n}}\)
Lời giải chi tiết
+) Với \(n = 2\) ta có \(1 - {1 \over 4} = {3 \over 4}\) (đúng). Vậy (1) đúng với \(n = 2\)
+) Giả sử (1) đúng với \(n = k\), tức là ta có
\(\left( {1 - {1 \over 4}} \right)\left( {1 - {1 \over 9}} \right)...\left( {1 - {1 \over {{k^2}}}} \right) = {{k + 1} \over {2k}}\)
+) Ta chứng minh (1) đúng với \(n = k + 1\), tức là phải chứng minh :
\(\left( {1 - {1 \over 4}} \right)\left( {1 - {1 \over 9}} \right)...\left( {1 - {1 \over {{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}} \right) = {{k + 2} \over {2\left( {k + 1} \right)}}\)
Thật vậy theo giả thiết qui nạp ta có :
\(\eqalign{
& \left( {1 - {1 \over 4}} \right)\left( {1 - {1 \over 9}} \right)...\left( {1 - {1 \over {{k^2}}}} \right)\left( {1 - {1 \over {{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}} \right) \cr
& = {{k + 1} \over {2k}}\left( {1 - {1 \over {{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}} \right) \cr
& = {{k + 1} \over {2k}}.{{{k^2} + 2k} \over {{{\left( {k + 1} \right)}^2}}} ={{k + 1} \over {2k}}.{{k.\left( {k + 2} \right)} \over {{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}= {{k + 2} \over {2\left( {k + 1} \right)}} \cr} \)
Vậy (1) đúng với \(n = k + 1\) do đó (1) đúng với mọi \(n ≥ 2\)
Bài 7: Sulfuric acid và muối sulfate
Chủ đề 6: Kĩ thuật thủ môn
CHƯƠNG IV: ĐẠI CƯƠNG VỀ HÓA HỌC HỮU CƠ
ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ 2 (ĐỀ THI HỌC KÌ 2) - VẬT LÍ 11
CHƯƠNG 1: ĐIỆN TÍCH - ĐIỆN TRƯỜNG
SGK Toán Lớp 11
SBT Toán Lớp 11
SBT Toán Nâng cao Lớp 11
SGK Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SGK Toán 11 - Cánh Diều
SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Chuyên đề học tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Chuyên đề học tập Toán 11 - Cánh Diều
Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo
SBT Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SBT Toán 11 - Cánh Diều
SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Tổng hợp Lí thuyết Toán 11
Bài giảng ôn luyện kiến thức môn Toán lớp 11