Cho tứ diện SABC, hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) vuông góc với nhau và có SA vuông góc với mp(ABC), \(SB = a\sqrt 2 ,\widehat {B{\rm{S}}C} = {45^0},\widehat {ASB} = \alpha \).

a) Chứng minh rằng BC vuông góc với SB. Tìm điểm cách đều các điểm S, A, B, C.

b) Xác định α để hai mặt phẳng (SCA) và (SCB) tạo với nhau góc 60°.

Lời giải chi tiết

a) Vì

\(\eqalign{ & \left( {ABC} \right) \bot \left( {SAB} \right) \cr & \left( {SBC} \right) \bot \left( {SAB} \right) \cr} \)

mà \(BC = \left( {ABC} \right) \cap \left( {SBC} \right)\) nên \(BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB\).

Như vậy, tứ diện SABC có \(\widehat {SAC} = {90^0}\) và \(\widehat {SBC} = {90^0}\) nên điểm cách đều S, A, B, C là trung điểm của SC.

Chú ý. Có thể chứng minh \(BC \bot SB\) như sau:

Kẻ \(A{B_1} \bot SB\) do \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {SBC} \right)\) nên \(A{B_1} \bot \left( {SBC} \right)\)

\( \Rightarrow A{B_1} \bot BC\)

mặt khác \(BC \bot SA\)

\(\eqalign{ & \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \cr & \Rightarrow BC \bot SB \cr} \)

b) Kẻ \(A{B_1} \bot SB,A{C_1} \bot SC\), dễ chứng minh được

\(A{B_1} \bot \left( {SBC} \right)\) và \(\left( {A{B_1}{C_1}} \right) \bot SC\).

Từ đó \(\widehat {A{C_1}{B_1}}\) là góc giữa hai mặt phẳng (SCA) và (SCB).

Xét ∆AB₁C₁ ta có \(A{B_1} = {B_1}{C_1}\tan {60^0}\)

mà \(A{B_1} = S{B_1}\tan \alpha ,{B_1}{C_1} = S{B_1}\sin {45^0}\).

Vậy hai mặt phẳng (SCA) và (SCB) tạo với nhau góc 60° khi và chỉ khi

\(S{B_1}\tan \alpha = S{B_1}.{{\sqrt 2 } \over 2}.\sqrt 3 \Leftrightarrow \tan \alpha = {{\sqrt 6 } \over 2}\).

Hệ thức này xác định α.

Fqa.vn

Báo cáo nội dung câu hỏi

Khác

Bình luận (0)

Bạn cần đăng nhập để bình luận

Xác nhận

Bạn chắc chắn muốn xóa nội dung này ?

Chương bài liên quan

Bài 5. Khoảng cách

Ôn tập chương III. Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc

Bài tập trắc nghiệm chương III. Vecto trong không gian. Quan hệ vuông góc

Gợi ý sách

Xem thêm

Bạn có câu hỏi cần được giải đáp?

Bộ sách liên quan

FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)

Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn

Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.

Liên kết · Hỏi đáp bài tập · Giải bài tập SGK · Cẩm nang · Đề ôn luyện

hỗ trợ · Điều khoản & chính sách · Sitemap · Liên hệ · Hướng dẫn sử dụng · Đánh giá và góp ý · Dịch vụ FQA media

Tải ứng dụng FQA

Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024