Cho hình chữ nhật ABCD với tâm O, AB = a, BC = 2a. Lấy điểm S trong không gian sao cho SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD), đặt SO = h. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD.

a) Tính góc giữa mp(SMN) với các mặt phẳng (SAB) và (SCD). Tìm hệ thức liên hệ giữa h và a để mp(SMN) vuông góc với các mặt phẳng (SAB), (SCD).

b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD). Tính h theo a để hai mặt phẳng đó vuông góc.

Lời giải chi tiết

a) Vì \(MN \bot AB,SO \bot AB\) nên \(AB \bot \left( {SMN} \right) \Rightarrow \left( {SAB} \right) \bot \left( {SMN} \right)\). Vậy góc giữa (SMN) và (SAB) cũng bằng 90°.

Tương tự, góc giữa (SMN) và (SCD) cũng bằng 90°.

Như vậy với AB = a, BC = 2a, h tùy ý thì (SMN) vuông góc cả với hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).

b) Dễ thấy \(\left( {SAB} \right) \cap \left( {SC{\rm{D}}} \right) = St,St//AB\).

Như vậy \(St \bot \left( {SMN} \right)\), từ đó \(\widehat {M{\rm{S}}N}\) hoặc \({180^0} - \widehat {M{\rm{S}}N}\) là góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).

Tính \(\widehat {M{\rm{S}}N}\).

Ta có

\(S{M^2} = S{N^2} = {h^2} + {a^2} \)

\(M{N^2} = S{M^2} + S{N^2} - 2{\rm{S}}M.SN\cos \widehat {MSN} \)

\(\Leftrightarrow 4{a^2} = {h^2} + {a^2} + {h^2} + {a^2} - 2\left( {{h^2} + {a^2}} \right)\cos \widehat {MSN} \)

tức là \(\cos \widehat {MSN} = {{2{h^2} - 2{a^2}} \over {2\left( {{h^2} + {a^2}} \right)}} = {{{h^2} - {a^2}} \over {{h^2} + {a^2}}}.\)

Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là α mà \(\cos \alpha = \left| {{{{h^2} - {a^2}} \over {{h^2} + {a^2}}}} \right|\).

Từ đó hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) vuông góc khi và chỉ khi h = a.

Fqa.vn

Báo cáo nội dung câu hỏi

Khác

Bình luận (0)

Bạn cần đăng nhập để bình luận

Xác nhận

Bạn chắc chắn muốn xóa nội dung này ?

Chương bài liên quan

Bài 5. Khoảng cách

Ôn tập chương III. Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc

Bài tập trắc nghiệm chương III. Vecto trong không gian. Quan hệ vuông góc

Gợi ý sách

Xem thêm

Bạn có câu hỏi cần được giải đáp?

Bộ sách liên quan

FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)

Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn

Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.

Liên kết · Hỏi đáp bài tập · Giải bài tập SGK · Cẩm nang · Đề ôn luyện

hỗ trợ · Điều khoản & chính sách · Sitemap · Liên hệ · Hướng dẫn sử dụng · Đánh giá và góp ý · Dịch vụ FQA media

Tải ứng dụng FQA

Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024