Chứng minh rằng các dãy số sau đây có giới hạn 0:
LG a
${u_n} = {{\sqrt {{5^n}} } \over {{3^n} + 1}}$
Lời giải chi tiết:
$0 < {u_n} = {{{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^n}} \over {{3^n} + 1}} < {{{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^n}} \over {{3^n}}} = {\left( {{{\sqrt 5 } \over 3}} \right)^n}$ với mọi n
Vì $0 < {{\sqrt 5 } \over 3} < 1$ nên $\lim {\left( {{{\sqrt 5 } \over 3}} \right)^n} = 0.$ Do đó ${{\mathop{\rm limu}\nolimits} _n} = 0$
LG b
${u_n} = {{{{\left( { - 1} \right)}^n}\sin {n^2} + \cos n} \over {2\root 3 \of n + 1}}$
Lời giải chi tiết:
$-1\le{{\left( { - 1} \right)}^n}\sin {n^2}\le 1$ và $-1 \le\cos n \le 1$ với mọi n nên $|{{\left( { - 1} \right)}^n}\sin {n^2}+ \cos x| \le 2$ với mọi n.
Suy ra $|{u_n}| = {|{{{\left( { - 1} \right)}^n}\sin {n^2} + \cos n|} \over {2\root 3 \of n + 1}} \le \frac{ 2}{2 \sqrt[3]{n}+1}$
Vì $\lim {\frac{2}{2 \sqrt[3]{n}+1}=0}$ nên ${{\mathop{\rm limu}\nolimits} _n} = 0$
LG c
${u_n} = {{{{\left( { - 1} \right)}^n}} \over {{2^{n + 1}}}} - {1 \over {{3^{n + 1}}}}$
Lời giải chi tiết:
$\left| {{u_n}} \right| \le {1 \over {{2^{n + 1}}}} + {1 \over {{3^{n + 1}}}} < {1 \over {{2^{n + 1}}}} + {1 \over {{2^{n + 1}}}} = {1 \over {{2^n}}}$ với mọi n
Vì $\lim {1 \over {{2^n}}} = \lim {\left( {{1 \over 2}} \right)^n} = 0,$ từ đó suy ra ${{\mathop{\rm limu}\nolimits} _n} = 0$
LG d
${u_n} = {{n + \cos {{n\pi } \over 5}} \over {n\sqrt n + \sqrt n }}$
Lời giải chi tiết:
Hướng dẫn: $0 \le {u_n} \le {{n + 1} \over {\sqrt n \left( {n + 1} \right)}} = {1 \over {\sqrt n }}$ với mọi n
CHƯƠNG 1. CHUYỂN HÓA VẬT CHẤT VÀ NĂNG LƯỢNG
Phần 1. Một số vấn đề về kinh tế - xã hội thế giới
Unit 4: Preserving World Heritage
Chủ đề 1. Cách mạng tư sản và sự phát triển của chủ nghĩa tư bản
Unit 2: Personnal Experiences - Kinh nghiệm cá nhân
SGK Toán Lớp 11
SGK Toán Nâng cao Lớp 11
SBT Toán Lớp 11
SGK Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SGK Toán 11 - Cánh Diều
SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Chuyên đề học tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Chuyên đề học tập Toán 11 - Cánh Diều
Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo
SBT Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SBT Toán 11 - Cánh Diều
SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Tổng hợp Lí thuyết Toán 11
Bài giảng ôn luyện kiến thức môn Toán lớp 11