Câu 4.30 trang 138 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

 Nếu ${u_n} \le {v_n}$ với mọi n và $\lim {u_n} =  + \infty $ thì ${{\mathop{\rm limv}\nolimits} _n} =  + \infty $         

Lời giải chi tiết:

Suy ra từ định nghĩa của dãy số có giới hạn $ + \infty $

Nếu $\lim {u_n} = L \in R$ và $\lim \left| {{v_n}} \right| =  + \infty $ thì $\lim {{{u_n}} \over {{v_n}}} = 0$ 

Lời giải chi tiết:

Vì  $\lim \left| {{v_n}} \right| =  + \infty $ nên $\lim {1 \over {{v_n}}} = 0.$ Do đó

$\lim {{{u_n}} \over {{v_n}}} = \lim \left( {{u_n}.{1 \over {{v_n}}}} \right) = \left( {\lim {u_n}} \right)\lim {1 \over {{v_n}}} = L.0 = 0$

Nếu $\lim {u_n} =  + \infty $ (hoặc $ - \infty $) và  $\lim {v_n} = L \in R$ thì $\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right) =  + \infty $ (hoặc $ - \infty $)

Lời giải chi tiết:

Giả sử $\lim {u_n} =  + \infty $và $\lim {v_n} = L.$ Khi đó

                        ${u_n} + {v_n} = {u_n}\left( {1 + {{{v_n}} \over {{u_n}}}} \right)$

Theo b), ta có $\lim {{{u_n}} \over {{v_n}}} = 0$. Vì $\lim {u_n} =  + \infty $ và $\lim \left( {1 + {{{v_n}} \over {{u_n}}}} \right) = 1 > 0$ nên $\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right) =  + \infty $

Nhận xét. Tương tự, có thể chứng minh được rằng

a) Nếu dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ bị chặn (tức là tồn tại một số dương M sao cho $\left| {{u_n}} \right| \le M$ với mọi n) và $\lim \left| {{u_n}} \right| =  + \infty $ thì $\lim {{{u_n}} \over {{v_n}}} = 0$

b) Nếu $\lim {u_n} =  + \infty $(hay $ - \infty $) và $\left( {{v_n}} \right)$ là một dãy số bị chặn thì

                        $\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right) =  + \infty $ (hay $ - \infty $)