Trong mặt phẳng phức cho điểm A biểu diễn số phức \(\omega \). Chứng minh rằng phép biến đổi của mặt phẳng phức biến điểm biểu diễn số phức z tùy ý thành biểu diễn số phức z’ sao cho \(z' - \omega = i\left( {z - \omega } \right)\) là phép quay tâm A góc quay \({\pi \over 2}\)

Giải chi tiết:

M là điểm biểu diễn số phức z, M’ là điểm biểu diễn số phức z’.

Khi M trùng với A tức là \(z = \omega \) thì \(z' = \omega \) nên A biến thành chính nó. Khi M không trung với A thì \(\left| {\overrightarrow {AM'} } \right| = \left| {z' - \omega } \right| = \left| i \right|\left| {z - \omega } \right| = \left| {z - \omega } \right| = \left| {\overrightarrow {AM} } \right|\) và một acgumen của \({{z' - \omega } \over {z - \omega }} = i\) là số đo góc lượng giác (AM,AM') nên góc này là \({\pi \over 2}\). Từ đó phép biến đổi đang xét là phép quay tâm A, góc quay \({\pi \over 2}\)

LG b

Giả sử ba đỉnh A, B, C của tam giác ABC trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số \(\alpha ,\beta ,\gamma \). Gọi P, Q theo thứ tự là tâm các hình vuông dựng bên ngoài ABC trên các cạnh AB, AC và gọi N là trung điểm của BC. Tìm các số phức biểu diễn bởi các vectơ \(\overrightarrow {NQ} ,\overrightarrow {NP} \) rồi chứng minh NQP là tam giác vuông cân.

Giải chi tiết:

(h.4.15) Giả sử ta đi dọc chu vi tam giác ABC theo ngược chiều quay kim đồng hồ. Khi đó Q là ảnh của C qua phép quay tâm là trung điểm của CA góc quay \({\pi \over 2}\) nên nếu kí hiệu q là số phức biểu diễn bởi điểm Q thì theo câu a) ta có

\(q - {{\gamma + \alpha } \over 2} = i\left( {\gamma - {{\gamma + \alpha } \over 2}} \right)\)

Từ đó

\(q = {1 \over 2}\left[ {\left( {1 + i} \right)\gamma + \left( {1 - i} \right)\alpha } \right]\)

Đổi \(\alpha \) thành \(\beta \), \(\gamma \) thành \(\alpha \), ta suy ra p biểu diễn bởi P là

\(p = {1 \over 2}\left[ {\left( {1 + i} \right)\alpha + \left( {1 - i} \right)\beta } \right]\)

Vậy \(\overrightarrow {NP} \) biểu diễn số phức \(p - {1 \over 2}\left( {\beta + \gamma } \right) = {1 \over 2}\left[ {\left( {1 + i} \right)\alpha - i\beta - \gamma } \right]\) và \(\overrightarrow {NQ} \) biểu diễn số phức

\(q - {1 \over 2}\left( {\beta + \gamma } \right) = {1 \over 2}\left[ {\left( {1 - i} \right)\alpha - \beta + i\gamma } \right]\). Rõ ràng \(i,{1 \over 2}\left[ {\left( {1 - i} \right)\alpha - \beta + i\gamma } \right] = {1 \over 2}\left[ {\left( {1 + i} \right)\alpha - i\beta - \gamma } \right]\), nên suy ra \(NQ = NP\) và \(\overrightarrow {NQ},\overrightarrow {NP} \) vuông góc (h.4.15)

Fqa.vn

Báo cáo nội dung câu hỏi

Khác

Bình luận (0)

Bạn cần đăng nhập để bình luận

Xác nhận

Bạn chắc chắn muốn xóa nội dung này ?

Gợi ý sách

Xem thêm

Bạn có câu hỏi cần được giải đáp?

Bộ sách liên quan

FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)

Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn

Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.

Liên kết · Hỏi đáp bài tập · Giải bài tập SGK · Cẩm nang · Đề ôn luyện

hỗ trợ · Điều khoản & chính sách · Sitemap · Liên hệ · Hướng dẫn sử dụng · Đánh giá và góp ý · Dịch vụ FQA media

Tải ứng dụng FQA

Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024