LG a
LG a
Chứng minh rằng nếu \(P\left( x \right)\) là một đa thức bậc ba và \(\alpha \) là một số thực bất kì ta có
\(P\left( {x + \alpha } \right) = P\left( \alpha \right) + xP'\left( \alpha \right) + {{{x^2}} \over 2}P"\left( \alpha \right)) \)
\(+ {{{x^3}} \over 6}P'''\left( \alpha \right),\) \(\left( {\forall x \in R} \right)\)
Lời giải chi tiết:
Ta viết đa thức bậc ba \(P\left( x \right)\) dưới dạng
\(P\left( x \right) = {a_0}{x^3} + {a_1}{x^2} + {a_2}x + {a_3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {{a_0} \ne 0} \right)\)
Ta có
\(\eqalign{& P'\left( x \right) = 3{a_0}{x^2} + 2{a_1}x + {a_2} \cr& P''\left( x \right) = 6{a_0}x + 2{a_1} \cr& P'''\left( x \right) = 6{a_0}. \cr} \)
Vậy
\(\eqalign{& {{{x^3}} \over 6}P'''\left( \alpha \right) + {{{x^2}} \over 2}P''\left( \alpha \right) + xP'\left( \alpha \right) + P\left( \alpha \right) \cr& = {a_0}{x^3} + \left( {3{a_0}\alpha + {a_1}} \right){x^2} + \left( {3{a_0}{\alpha ^2} + 2{a_1}\alpha + {a_2}} \right)x\cr& + {a_0}{\alpha ^3} + {a_1}{\alpha ^2} + {a_2}\alpha + {a_3}\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \cr} \)
Mặt khác ta có
\(\eqalign{& P\left( {x + \alpha } \right) = {a_0}{\left( {x + \alpha } \right)^3} + {a_1}{\left( {x + \alpha } \right)^2} \cr& \;\;\; + {a_2}\left( {x + \alpha } \right) + {a_3} \cr& = {a_0}\left( {{x^3} + 3\alpha {x^2} + 3{\alpha ^2}x + {\alpha ^3}} \right) \cr&\;\;\; + {a_1}\left( {{x^2} + 2\alpha x + {\alpha ^2}} \right) + {a_2}\left( {x + \alpha } \right) + {a_3} \cr& = {a_0}{x^3} + \left( {3{a_0}\alpha + {a_1}} \right){x^2} + \left( {3{a_0}{\alpha ^2} + 2{a_1}\alpha + {a_2}} \right)x \cr&\;\;\; + {a_0}{\alpha ^3} + {a_1}{\alpha ^2} + {a_2}\alpha + {a_3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \cr} \)
So sánh (1) và (2) , suy ra điều phải chứng minh.
LG b
LG b
Xác định đa thức \(P\left( x \right)\) bậc ba biết \(P\left( 0 \right) = P'\left( 0 \right) = P"\left( 0 \right)=P'''\left( 0 \right)\,\, = 1\)
Lời giải chi tiết:
Khi \(\alpha = 0,\) ta được
\(P\left( x \right) = P\left( 0 \right) + xP'\left( 0 \right) + {{{x^2}} \over 2}P''\left( 0 \right) + {{{x^3}} \over 6}P'''\left( 0 \right).\)
Vì \(P\left( 0 \right) = P'\left( 0 \right) = P''\left( 0 \right) = P'''\left( 0 \right) = 1\)
Nên đa thức tìm là \(P\left( x \right) = 1 + x + {{{x^2}} \over 2} + {{{x^3}} \over 6}\)
Bài 1: Mở đầu về cân bằng hóa học
Phần 2. Địa lí khu vực và quốc gia
Tiếng Anh 11 mới tập 2
Tải 10 đề kiểm tra 1 tiết - Chương 2
Bài giảng ôn luyện kiến thức giữa học kì 2 môn Toán lớp 11
SGK Toán Lớp 11
SGK Toán Nâng cao Lớp 11
SBT Toán Lớp 11
SGK Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SGK Toán 11 - Cánh Diều
SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Chuyên đề học tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Chuyên đề học tập Toán 11 - Cánh Diều
Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo
SBT Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SBT Toán 11 - Cánh Diều
SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Tổng hợp Lí thuyết Toán 11
Bài giảng ôn luyện kiến thức môn Toán lớp 11