Câu 63 trang 62 Sách Bài tập Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho hai đường thẳng d và d’ chéo nhau.Trên d đặt hai đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau AB và BC (B ở giữa A và C); trên d’ đặt hai đoạn thẳng liên tiếp cũng bằng nhau A’B’ và B’C’ (B’ ở giữa A’ và C’). Chứng minh rằng AA’ + CC’ > 2 BB’.

Lời giải chi tiết

Gọi (P) là mặt phẳng đi qua AA’ và song song với BB’. Theo định lí Ta-lét, ta cũng có CC’ // mp(P). Xét phép chiếu song song lên mp(P) theo phương chiếu d, ta được hình chiếu của A’, B’, C’ tương ứng là A’, B₁, C₁. Khi đó ba điểm A’, B₁, C₁ thẳng hàng. Ta có C’C₁ // CA và vì CC’ // mp(P) nên giao tuyến AC₁ của mp(CC’C₁A) với mp(P) song song với CC’. Do đó tứ giác CC’C₁A là hình bình hành, nên AC₁ = CC’. Tương tự như vậy, ta cũng chứng minh được AB₁ = BB’. Ta phải chứng minh AA’ +AC₁ > 2AB₁.

 Thật vậy, vì B’ là trung điểm của A’C’ nên B₁ là trung điểm của cạnh A’C₁ của tam giác AA’C₁. Từ đó dễ thấy tổng của hai cạnh AA’ và AC₁ trong tam giác AA’C₁ lớn hơn hai lần trung tuyến ứng với cạnh thứ ba.