a) Hai mặt phẳng ABC và ABD của hình tứ diện ABCD là những tam giác có diện tích bằng nhau. Chứng minh rằng đường vuông góc chung của AB và CD đi qua trung điểm của CD.

b) Bốn mặt của hình tứ diện ABCD có diện tích bằng nhau. Chứng minh rằng các cặp đối diện của tứ diện bằng nhau, nghĩa là BC = AD, AC = BD, AB = CD.

Lời giải chi tiết

Vì \({S_{CAB}} = {S_{DAB}}\) nên \(C{B_1} = D{A_1}\) (CB₁, DA₁ tương ứng là đường cao của các tam giác CAB và DAB). Từ đó \(C{A_1} = D{B_1}\).

Nếu A₁\( \ne \) B₁

Xét tứ diện A₁B₁CD có \({A_1}C = {B_1}D,C{B_1} = D{A_1}\) nên đường vuông góc chung của A₁B₁, CD là đường thẳng nối trung điểm của A₁B₁ và CD, hay đường vuông góc chung của AB và CD đi qua trung điểm của CD.

Nếu A₁ ≡ B₁ thì kết quả là hiển nhiên.

Cách 2.

Kẻ các đường cao CB₁, DA₁ tương ứng của tam giác CAB và DAB. Xét mp(P) vuông góc với AB. Gọi IJ là đường vuông góc với AB. Gọi IJ là đường vuông góc chung của AB và CD thì IJ // (P), CB₁ // (P) và DA₁ // (P).

Chiếu tứ diện đã cho lên (P) thì các điểm A, B, A₁, B₁, I cùng có hình chiếu là E. Các điểm C, J, D lần lượt có hình chiếu là C’, J’, D’. Dễ thấy J’ thuộc \(C'D',EC' = C{B_1},E{\rm{D}}' = {A_1}D\) từ đó EC’ = ED’.

Mặt khác do \(IJ \bot AB\) và \(IJ \bot CD\) nên suy ra \(EJ' \bot C'D'\).

Như vậy C’ED’ là tam giác cân tại E và nhận EJ’ là đường cao, từ đó J’C’ = J’D’.

Do vậy JC = JC, tức là đường vuông góc chung của AB, CD đi qua trung điểm của CD.

b) Vì bốn mặt của tứ diện ABCD có diện tích bằng nhau nên \({S_{CAB}} = {S_{DAB}}\) và \({S_{BC{\rm{D}}}} = {S_{AC{\rm{D}}}}\). Do đó theo câu a) thì đường vuông góc chung của AB và CD là đường thẳng IJ, trong đó I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Khi đó AC = BD, BC = AD.

Tương tự như trên ta có AC = BD và AB = CD. Vậy ABCD là tứ diện có các cặp cạnh đối diện bằng nhau, tức là AB = CD, AC = BD, AD = BC.

Fqa.vn

Báo cáo nội dung câu hỏi

Khác

Bình luận (0)

Bạn cần đăng nhập để bình luận

Xác nhận

Bạn chắc chắn muốn xóa nội dung này ?

Chương bài liên quan

Ôn tập chương III. Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc

Bài tập trắc nghiệm chương III. Vecto trong không gian. Quan hệ vuông góc

Gợi ý sách

Xem thêm

Bạn có câu hỏi cần được giải đáp?

Bộ sách liên quan

FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)

Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn

Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.

Liên kết · Hỏi đáp bài tập · Giải bài tập SGK · Cẩm nang · Đề ôn luyện

hỗ trợ · Điều khoản & chính sách · Sitemap · Liên hệ · Hướng dẫn sử dụng · Đánh giá và góp ý · Dịch vụ FQA media

Tải ứng dụng FQA

Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024