Câu 73 trang 128 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD của tứ diện ABCD; P là điểm thuộc đường thẳng AD sao cho \(\overrightarrow {PA}  = k\overrightarrow {P{\rm{D}}} \), k là số cho trước (k ≠ 1). Xác định điểm Q thuộc đường thẳng BC sao cho PQ và MN cắt nhau. Khi đó, hãy tính tỉ số \({{QB} \over {QC}}.\)

Lời giải chi tiết

MN cắt PQ nên các điểm M, N, P, Q cùng thuộc một mặt phẳng. Điều này tương đương với có các số x, y sao cho \(\overrightarrow {MP}  = x\overrightarrow {MN}  + y\overrightarrow {MQ} \).

Đặt \(\overrightarrow {DA}  = \overrightarrow a ,\overrightarrow {DB}  = \overrightarrow b ,\overrightarrow {DC}  = \overrightarrow c .\)

Khi đó

\(\eqalign{  & \overrightarrow {MN}  = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow {A{\rm{D}}}  + \overrightarrow {BC} } \right)  \cr  &  = {1 \over 2}\left( { - \overrightarrow a  - \overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right)  \cr  & \overrightarrow {MP}  = {{\overrightarrow {MA}  - k\overrightarrow {M{\rm{D}}} } \over {1 - k}}  \cr  &  = {1 \over {1 - k}}\left[ {{1 \over 2}\left( {\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right) - {k \over 2}\left( {\overrightarrow a  - \overrightarrow b  - 2\overrightarrow a } \right)} \right]  \cr  &  = {1 \over {1 - k}}\left[ {{1 \over 2}\left( {\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right) + {k \over 2}\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right)} \right]  \cr  &  = {1 \over {2\left( {1 - k} \right)}}\left[ {\left( {1 + k} \right)\overrightarrow a  + \left( {k - 1} \right)\overrightarrow b } \right]  \cr  &  = {{k + 1} \over {2\left( {1 - k} \right)}}\overrightarrow a  - {1 \over 2}\overrightarrow {b.}   \cr  & \overrightarrow {MQ}  = \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {BQ}   \cr  &  = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow b  - \overrightarrow a } \right) + t\left( { - \overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right)  \cr  &  =  - {1 \over 2}\overrightarrow a  + \left( {{1 \over 2} - t} \right)\overrightarrow b  + t\overrightarrow c  \cr} \)

Từ đó ta có

\(\eqalign{  & \overrightarrow {MP}  = x\overrightarrow {MN}  + y\overrightarrow {MQ}   \cr  &  \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  {{k + 1} \over {2\left( {1 - k} \right)}} =  - {1 \over 2}x - {1 \over 2}y \hfill \cr   - {1 \over 2} =  - {1 \over 2}x + y\left( {{1 \over 2} - t} \right) \hfill \cr  0 = {1 \over 2}x + yt \hfill \cr}  \right.  \cr  &  \Rightarrow y =  - 1,x = {{k + 1} \over {k - 1}} + 1 = {{2k} \over {k - 1}}  \cr  & t = {k \over {k - 1}} \cr} \)

Như vậy

\(\eqalign{  & \overrightarrow {BQ}  = {k \over {k - 1}}\overrightarrow {BC}  = {k \over {k - 1}}\left( {\overrightarrow {BQ}  + \overrightarrow {QC} } \right)  \cr  &  \Leftrightarrow \left( {1 - {k \over {k - 1}}} \right)\overrightarrow {BQ}  = {k \over {k - 1}}\overrightarrow {QC}   \cr  &  \Leftrightarrow  - \overrightarrow {BQ}  = k.\overrightarrow {QC}   \cr  &  \Leftrightarrow {{QB} \over {QC}} = \left| k \right| \cr} \)